Рассмотрена одномерная модель Изинга (цепочка) с взаимодействием только между ближайшими соседями и со случайным немагнитным разбавлением. Найдено точное значение свободной энергии такой цепочки, как функция концентрации примеси, температуры и внешнего магнитного поля. Как функции этих параметров для случая антиферромагнитного взаимодействия в цепочке найдены удельная намагниченность, среднее значение произведения соседних спинов и энтропия. Исследована остаточная энтропия системы.
Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии
N=2 суперсимметричных золотых осцилляторов
Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий
N=2 суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.
Построены асимптотические решения уравнения Шредингера для заряженной нерелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле в некоммутативном пространстве. Получены классические уравнения движения заряда и спина частицы в первом приближении по параметру некоммутативности.
Альтернативная формулировка квантовой механики, предложенная ранее, основанная на секулярном уравнении для оператора действия, используется для квантования гармонического осциллятора с нелокальной потенциальной энергией. Установлено соответствие новой теории с обычной квантовой механикой в пределе, когда параметр нелокальности стремится к нулю. Найдены основное и первое возбужденное состояния нелокального осциллятора и их энергии. Показано, что спектр энергий нелокального гармонического осциллятора не зависит от параметра нелокальности и совпадает со спектром локального гармонического осциллятора.
Рассмотрены стационарные задачи для прохождения (туннелирования) плоской электромагнитной волны через слой вещества с диэлектрическими свойствами, а также и квантовой частицы через прямоугольный потенциальный барьер. Показано, что сверхсветовых движений не возникает, а время прохождения всегда больше времени при прохождении структуры со скоростью света.