Теория вероятностей и ее применения

Формула полной вероятности с интерференционным членом и представление колмогоровской модели в гильбертовом пространстве

Andrei Yu. Khrennikov

Published Jan 1, 2006• 0 citations

Abstract

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ С ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ ЧЛЕНОМ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛМОГОРОВСКОЙ МОДЕЛИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1 ) В работе сравниваются две модели теории вероятностей: клас сическая (предложенная А.Н.Колмогоровым) и квантовая.По казано, что различие между этими теориями не так велико, как обычно считают.Оказывается, что основные структуры квантовой теории вероятностей -такие, как интерференция вероятностей, правило Борна, комплексные вероятностные амплитуды, гильбер тово пространство состояний, представление наблюдений в виде операторов, -содержатся в скрытой форме в модели Колмого рова.В частности, получена «интерференция вероятностей» без обращения к представлению в гильбертовом пространстве.«Ин терференция вероятностей» интерпретируется как возникновение дополнительного члена (cos-член) в обычной формуле полной веро ятности.Такая связь между классической теорией вероятностей и квантовым вероятностным формализмом может стимулировать применение квантовых методов вне микромира, например в психо логии, биологии, экономике и других науках.Ключевые слова и фразы: формула полной вероятности, контек стуальная модель Колмогорова, квантовое представление, интерфе ренция вероятностей, правило Борна. 1. Введение.Имеется достаточно общее мнение, что квантовая модель теории вероятностей, т.е.исчисление вероятностей, основанное на комплексном гильбертовом пространстве, существенно отличается от классической теоретико-множественной модели Колмогорова [1], [2] (де тали и обсуждение см., например, в [3]-[5]).Упомянем несколько отли чительных особенностей квантовой теории вероятностей.а) Использование комплексных амплитуд вероятностей, или волно вых функций, ф(х).

DOI: 10.4213/tvp37

Related papers

Операторы координаты и плотности вероятности в полупроводниковых углеродных нанотрубках / Румянцев Е.Л., Кунавин П.Е., Германенко А.В.

Одностенные углеродные нанотрубки (ОУНТ) обладают уникальными физическими свойствами, обусловленными присущим им квази-релятивистским поведением [1]. Поскольку описание поведения носителей в ОУНТ формально подобно описанию поведения электрона в теории Дирака, в данной работе предложен квантово-полевой подход к построению одно-частичного оператора плотности вероятности (ПВ) для двузонной модели ОУНТ [1]. Предложенный подход является альтернативой обычно рассматриваемому преобразованию Фолди-Ваутхаузена, которое позволяет разделить положительно и отрицательно частотные решения. Показано, что в рассмотренном “no-pair” приближении полученная одноэлектронная ПВ отличается от “классической” Шредингеровской ПВ, задаваемой квадратом волновой функции. Полученная ПВ указывает на вспомогательную роль волновой функции при анализе эксперимента, поскольку демонстрирует дополнительно к стандартному квантово-механическому размытию положения электрона, размытие, связанное с многозонностью проблемы. С точки зрения квантовой теории поля, дополнительное динамическое размытие связано с флуктуациями вакуума-заполненной валентной зоной (аналог “моря” Дирака). Налетающий электрон аннигилирует с дыркой виртуальной пары, а электрон пары продолжает движение [2]. Как показано, такая телепортация проявляется не только в особенности поведения ПВ, но и обуславливает существенную модификацию внешнего потенциала в полученном для однокомпонентной волновой функции одно-частичном уравнении типа Салпетера. К нелокальности псевдо-дифференциального оператора кинетической энергии добавляется нелокальное воздействие внешнего потенциала, который в общем случае представляет собой интегральный оператор. Обсуждаются условия существования псевдо-релятивистского эффекта дрожания электрона (Zitterbewegung) и его связь с полученным нелокальным потенциальным членом типа Дарвина. Показано, что описанные особенности поведения электрона в ОУНТ связаны с необычными свойствами оператора координаты rˆ в одно-частичном секторе:  r n n r  ˆ  . Предсказанные эффекты размытия достаточно велики (характерная длина-аналог Комптоновской длины в теории Дирака порядка 28,6А [1]) и, следовательно, наблюдаемы, например, с помощью сканирующей зондовой микроскопии. Однозначное соответствие в рамках предложенного подхода между решениями в ОУНТ и решениями (1+1) проблемы Дирака, предсказания для которой вне современных экспериментальных возможностей, представляет возможность экспериментального наблюдения и теоретического описания в ОУНТ таких релятивистских эффектов, как Zitterbewegung [3] и эффекта порождения электрон-дырочных пар - эффекта нестабильности вакуума СаутераШвингера [4].

Тезисы докладов XIV РОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ПО ФИЗИКЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ «ПОЛУПРОВОДНИКИ-2019»Aug 20, 20190 citations

Методы квантовой статистики с точки зрения теории вероятностей. I

Виктор Павлович Маслов, Victor Pavlovich Maslov

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.I Показано, что стандартным задачам теории вероятностей можно поставить в соответствие самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве (в конечномерном случае -симме тричную матрицу), ввести понятие энтропии, температуры, а также статистического ансамбля.Ряд общих тождеств для этих величин приводит, в частности, к формулам Купера-Бардина для сверхпроводимости.Строгое доказательство предъявленных асим птотик и их применения будут даны во второй части работы.

Теория вероятностей и ее примененияJan 1, 20024 citations

ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

И.И. Хасанов, Р.И. Хасанова

Цель работы – учитывая, что студенты бакалавриата не имеют представление о комплексных числах и комплексных функциях, отметить, что осмысленный отбор квантово-механических операторов дает возможность получить некоторые выводы, которые невозможно предсказать, не используя математический аппарат и способствует ограничению числа постулатов, составляющих основу теории, а также – показать некоторые упрощения, ошибки(опечатки), допускаемые при рассмотрении операторов в квантовой механике и в квантовой химии. Рассмотрен минимум знаний по комплексным (мнимым) числам. Для наглядности и осознанного восприятия рассматриваемого вопроса развернуто и подробно выведен оператор импульса как для одномерного случая, так и для пространственных координат. Выведены и объяснены операторы Лапласа, Гамильтона. Рассмотрено волновое уравнение в операторной форме. Проведен анализ. Исправлены опечатки и маленькие ошибки некоторых авторов.

Feb 25, 20220 citations

Полная, классическая и квантовая неопределенности, создаваемые каналами

Yizhou Liu, Shunlong Luo, Yuan Sun

Состояния и каналы являются важными с теоретической и прикладной точек зрения составляющими квантовой механики. Их взаимодействие не только кодирует информацию о состояниях, но и отражает неопределенность каналов. Для количественной оценки естественных неопределенностей, создаваемых каналами, с трех разных точек зрения использовано действие канала на ортонормированный базис в пространстве наблюдаемых. В первом случае неопределенность, создаваемая каналом, вводится через некоммутативность операторов Крауса этого канала и операторов ортонормированного базиса наблюдаемых; такую величину можно интерпретировать как своего рода количественную характеристику полной неопределенности. Во втором подходе неопределенность вводится в терминах 2-энтропии Цаллиса состояния Ямилковского-Чоя, связанного с каналом через двойственность состояние-канал; такую величину можно интерпретировать как характеристику классической неопределенности. В третьем случае неопределенность канала определяется как отклонение от тождественного канала в терминах расстояния Гильберта-Шмидта; такую величину можно интерпретировать как своего рода характеристику квантовой неопределенности, создаваемой каналом. Для этих трех случаев выявлены основные свойства этих показателей и установлена связь между ними. Определены каналы, создающие минимальные/максимальные неопределенности. Для некоторых важных каналов найдены явные значения введенных характеристик неопределенности, которые использованы для прояснения природы каналов с точки зрения теории информации, и проведены некоторые сравнительные исследования каналов.

Теоретическая и математическая физикаOct 29, 20221 citation

Собственное время в релятивистской квантовой механике

Горобей Наталья Николаевна, Лукьяненко Александр Сергеевич

В рамках релятивистской квантовой механики предложена формулировка для бесспиновых частиц, которая сохраняет формальное равноправие пространственных и временной координат такой частицы благодаря введению вспомогательного параметра эволюции. Предлагаемая модификация теории дает пространственно-временную картину элементарных процессов, происходящих в конечных областях пространства Минковского в форме амплитуд рассеяния. Для определения указанного параметра введено дополнительное условие – наличие экстремума фазы амплитуды рассеяния. Вероятностная интерпретация амплитуды рассеяния включает ограничение меры интегрирования в пространстве Минковского трехмерной поверхностью, задаваемой условиями эксперимента. Показано, что нерелятивистский предел модифицированной теории совпадает с теорией Шрёдингера, в том числе для динамической модели стационарной задачи рассеяния в форме движения волновых пакетов.

Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические наукиJan 1, 20180 citations

Квантовые нейровесовые поля: теоретическая модель и практические методы семантической обработки данных

Роман Белоусов

Основная идея: Статья предлагает новую теоретическую парадигму для обработки семантической информации — Квантовые Нейровесовые Поля (Q-NWF). Эта модель объединяет принципы квантовой механики, байесовской статистики и теории поля для представления данных не как статических векторов, а как квантовых состояний, эволюционирующих в гильбертовом пространстве. Ключевые элементы теории: Аксиоматика: Данные представляются в виде операторов плотности (чистых или смешанных состояний). Семантическое пространство моделируется как непрерывное поле, а его эволюция описывается модифицированным уравнением Линдблада, которое учитывает как внутреннюю динамику ("гамильтониан"), так и воздействие внешних данных ("операторы Линдблада"). Преимущества подхода: Модель естественным образом поддерживает квантовую суперпозицию (для представления многозначности) и запутанность (для моделирования нелокальных семантических связей). Практические методы и результаты: Алгоритм кластеризации: Итеративно обновляет положения кластерных центров, минимизируя семантическую неопределенность через градиентный спуск в пространстве параметров поля. Метод семантической интерполяции: Осуществляет когерентные переходы между смысловыми состояниями вдоль геодезической в гильбертовом пространстве. Экспериментальные результаты: Тестирование на датасетах AG News и 20 Newsgroups показало статистически значимое улучшение качества кластеризации по сравнению с классическими и современными методами (K-means, DBSCAN, GMM, Spectral Clustering, VaDE). Прирост F1-меры составил 15-18% относительно базовых методов. Метод интерполяции продемонстрировал превосходную семантическую связность по сравнению с простой линейной интерполяцией в пространстве эмбеддингов. Ограничения и перспективы: Ограничения: Высокая вычислительная сложность операций с матрицами плотности, упрощенная параметризация гамильтониана, сложность интерпретации его компонент. Перспективы: Интеграция с квантовыми компьютерами для ресурсоемких вычислений, создание "глубоких" Q-NWF с параметризацией нейросетями, применение в квантовом NLP, семантическом поиске и генерации контента. Заключение: Работа представляет собой целостный теоретический и практический вклад в область семантической обработки данных, открывая новые направления для исследований на стыке квантовой информации и машинного обучения.

Aug 31, 20250 citations