Математические заметкиТом 93 выпуск 5 май 2013 УДК 519.248.3Число Шмидта и каналы, частично разрушающие сцепленность, в бесконечномерных квантовых системах М. Е. Широков Дано определение числа Шмидта состояния составной квантовой системы бесконечной размерности и рассмотрены свойства соответствующих классов Шмидта.Показано существование состояний с заданным числом Шмидта, любое счетное выпуклое разложение которых не содержит чистых состояний с конечным рангом Шмидта.Рассмотрены классы бесконечномерных каналов, частично разрушающих сцепленность.Получены обобщения некоторых свойств таких каналов, установленных ранее
Математические заметкиТом 93 выпуск 5 май 2013 УДК 519.248.3Число Шмидта и каналы, частично разрушающие сцепленность, в бесконечномерных квантовых системах М. Е. Широков Дано определение числа Шмидта состояния составной квантовой системы бесконечной размерности и рассмотрены свойства соответствующих классов Шмидта.Показано существование состояний с заданным числом Шмидта, любое счетное выпуклое разложение которых не содержит чистых состояний с конечным рангом Шмидта.Рассмотрены классы бесконечномерных каналов, частично разрушающих сцепленность.Получены обобщения некоторых свойств таких каналов, установленных ранее
Состояния и каналы являются важными с теоретической и прикладной точек зрения составляющими квантовой механики. Их взаимодействие не только кодирует информацию о состояниях, но и отражает неопределенность каналов. Для количественной оценки естественных неопределенностей, создаваемых каналами, с трех разных точек зрения использовано действие канала на ортонормированный базис в пространстве наблюдаемых. В первом случае неопределенность, создаваемая каналом, вводится через некоммутативность операторов Крауса этого канала и операторов ортонормированного базиса наблюдаемых; такую величину можно интерпретировать как своего рода количественную характеристику полной неопределенности. Во втором подходе неопределенность вводится в терминах 2-энтропии Цаллиса состояния Ямилковского-Чоя, связанного с каналом через двойственность состояние-канал; такую величину можно интерпретировать как характеристику классической неопределенности. В третьем случае неопределенность канала определяется как отклонение от тождественного канала в терминах расстояния Гильберта-Шмидта; такую величину можно интерпретировать как своего рода характеристику квантовой неопределенности, создаваемой каналом. Для этих трех случаев выявлены основные свойства этих показателей и установлена связь между ними. Определены каналы, создающие минимальные/максимальные неопределенности. Для некоторых важных каналов найдены явные значения введенных характеристик неопределенности, которые использованы для прояснения природы каналов с точки зрения теории информации, и проведены некоторые сравнительные исследования каналов.
Для составных квантовых систем рассматриваются квантовые каналы, которые однозначно определяют каналы подсистем. Такие каналы составных систем называются порождающими. Примерами порождающих каналов служат тензорные произведения двух квантовых каналов подсистем и их выпуклые комбинации. В работе изучаются свойства порождающих каналов. В частности, показывается, что эти каналы образуют выпуклое компактное множество в топологии, порожденной нормой. Доказывается критерий того, что квантовый канал является порождающим. Для составных систем, состоящих из двух кубитов, строятся порождающие каналы, демпфирующие фазы. При этом на подсистемах они порождают как каналы, демпфирующие фазы, так и деполяризующие каналы. Также приводятся примеры непорождающих каналов, демпфирующих фазы.
В отличие от унитарной эволюции, которая является обратимой, общие квантовые процессы (операции, квантовые каналы) часто необратимы. Однако степень необратимости разных каналов различна, и желательно иметь количественную характеристику необратимости. С использованием двойственности канал-состояние, обеспечивающейся изоморфизмом Ямилковского-Чоя, дано количественное определение необратимости каналов через энтропию состояний Ямилковского-Чоя для соответствующих каналов и проведено сравнение этой величины с понятиями точности воспроизведения запутанности и обменной энтропии. С интуитивной точки зрения обсуждаются общие свойства разумной меры необратимости и вводятся энтропийные меры необратимости. Установлены некоторые связи между необратимостью, точностью воспроизведения запутанности, степенью неунитальности и степенью некоррелированности. Найдены в явном виде меры необратимости для нескольких базовых каналов, что позволяет раскрыть некоторые теоретико-информационные аспекты структуры каналов в контексте их необратимости.
Дисперсия квантового состояния является одной из самых фундаментальных и повсеместно встречающихся величин, количественно характеризующих неопределенность, и широко используется как в классической, так и в квантовой физике. Однако всe еще существуют новые аспекты ее применения, которые ожидают своего изучения. С помощью взаимного обмена ролей переменной состояния и наблюдаемой переменной, т. е. на основе формального рассмотрения любого состояния как наблюдаемой (что имеет смысл, поскольку любое состояние априори является эрмитовым оператором) и с использованием средней (по наблюдаемым) дисперсии этого состояния, для всех спиновых когерентных состояний вводится количественная характеристика неклассичности спина относительно разложения единицы, порожденного спиновыми когерентными состояниями. Эта величина легко вычисляется и в то же время обладает различными практическими свойствами: она может интерпретироваться как дефицит чистоты, дефицит энтропии Цаллиса и дефицит квадрата нормы функции Хусими относительно квадрата нормы функции Вигнера. Обнаружены несколько интуитивных свойств этого показателя и его связь с неопределенностью распределения в фазовом пространстве. В качестве иллюстрации приведены некоторые характерные примеры. Указаны различные обобщения.
ДВОИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Для моделирования квантовой системы с непрерывными степенями свободы на квантовом компьютере, основанном на кубитах, необходимо свести непрерывные наблюдаемые (в первую очередь координаты и импульсы) к двоичным наблюдаемым.Данная задача рассматривается на основе разложения квантовых наблюдаемых в ряд по степеням двойки, аналогичный двоичному представлению вещественных чисел.Коэффициенты ряда ("цифры") при этом являются ортогональными проекторами.Исследуются соответствующие квантовомеханические операторы и соотношения между ними.Показано, что двоичное разложение квантовых наблюдаемых автоматически приводит к перенормировке некоторых расходящихся интегралов и рядов (приписыванию им конечных значений).
Почему чудесные выводы опытов Аспекта проистекают из отсутствия времени и пространства в системе частиц, распространяющихся с предельной скоростью. В статье предлагается радикальная реляционная интерпретация квантовой механики, объединяющая её со специальной теорией относительности на основе фундаментального факта: в собственной системе отсчёта частиц, движущихся со скоростью света (или составляющих их волновых функций), собственное время и пространство равны нулю. Квантовая неопределённость (соотношения Гейзенберга), интерференция, спонтанное излучение, виртуальные частицы и, главное, нелокальность запутанных состояний (нарушение неравенств Белла) объясняются не мистическим дальнодействием или онтологической суперпозицией, а отсутствием внутренней пространственно-временной структуры у самих квантов. Для них «здесь» и «там», «до» и «после» не существуют — частицы запутанной пары находятся в одной «точке» своей безвременной реальности. Пространство-время и причинность рассматриваются как эмерджентные явления, возникающие из каузальных цепочек квантовых взаимодействий в динамическом вакууме. Движение кванта трактуется как реляционный процесс последовательной передачи его состояния через замещение виртуальными аналогами в вакууме. Метрика пространства-времени порождается «мощностью» нулевого времени — количеством промежуточных квантовых событий в причинно-следственной цепочке. Предлагается новая онтология неметрического вакуума («безвременья») и первоматерии — потенциала комплементарных пар, реализующихся как локальные метрики. Это позволяет естественно объяснить эффект Казимира, Унруха, Хокинга, рождение Вселенной и сохранение фундаментальных зарядов без постулирования глобальной метрики или бесконечной энергии вакуума. Модель снимает классическую дилемму Белла, предлагая реляционный реализм: нелокальность оказывается артефактом попытки описать систему без учёта её собственной (нулевой) системы отсчёта. Детерминизм восстанавливается на фундаментальном уровне как реляционная актуализация мод в 9-мерном конфигурационном пространстве. Статья содержит подробный анализ конкретных квантовых явлений, критику глобальной метрики пространства-времени, новую интерпретацию квантовых вычислений и обоснование невозможности квантовых теорий сознания в макроскопических системах.