Im Jahre 1933 publizierte Pascual Jordan (1902–1980) im Band 80 der Zeitschrift für Physik eine Arbeit mit dem Titel „Über die Multiplikation quantenmechanischer Größen“, in der er „die Frage nach dem anschaulich-physikalischen Sinn der nichtkommutativen, assoziativen Multiplikation quantenmechanischer Größen klären” will und „eine Verallgemeinerung des Formalismus der Quantenmechanik“ anstrebt. In Anlehnung an John von Neumann führt er dabei aus, daß zwar die Addition A + B = C und das Quadrat A 2 quantenmechanischer „meßbarer Größen“ A und B einen anschaulichen physikalischen Sinn haben, daß aber die Multiplikation AB zweier nichtvertauschbarer Größen keiner unmittelbaren physikalischen Deutung fähig ist.
Im Jahre 1933 publizierte Pascual Jordan (1902–1980) im Band 80 der Zeitschrift für Physik eine Arbeit mit dem Titel „Über die Multiplikation quantenmechanischer Größen“, in der er „die Frage nach dem anschaulich-physikalischen Sinn der nichtkommutativen, assoziativen Multiplikation quantenmechanischer Größen klären” will und „eine Verallgemeinerung des Formalismus der Quantenmechanik“ anstrebt. In Anlehnung an John von Neumann führt er dabei aus, daß zwar die Addition A + B = C und das Quadrat A 2 quantenmechanischer „meßbarer Größen“ A und B einen anschaulichen physikalischen Sinn haben, daß aber die Multiplikation AB zweier nichtvertauschbarer Größen keiner unmittelbaren physikalischen Deutung fähig ist.
Pas c u a I J 0 r dan beendete am 18. Oktober 1972 sein 70stes Lebensjahr.In den Jahren 1921/22 studierte P. Jordan in Hannover und Gottingen.Er promovierte 1924 bei Max Born in Gottingen, wo er sich 1926 habilitierte.1927 wurde er an der U Hamburg Extraordinarius und glng 1929 nach Rostock, wo er 1935 Ordinarius fUr Theoretische Physik wurde; 1944 bis zum Kriegsende war er Direktor des Instituts fiir Theoretische Physik an der U Berlin.Nach dem Krieg ging er als Ordinarius an die U Hamburg. "Ich habe", schreibt Pascual Jordan einmal, "als mein eigentliches Lebensziel stets noch mehr die Tatigkeit des Naturforschers als die des ausschlieBlichen Physikers empfunden."Die erstaunliche Vielfalt und EinfallsfUlle seiner Arbeiten zeigt, mit welchem Erfolg er dieses Ziel verwirklicht hat.Der Name Jordan laBt zunaehst an die Quantenmechanik und die Quantentheorie der Wellenfelder denken, zu denen er Entscheidendes beigetragen hat.Die Zauberformel pq -qp = h/2rci wurde erstmals in der groBen Arbeit von Born und Jordan vorn September 1925 formuliert und begriindet.Die mit der klassischen Wellenkinematik unvereinbaren, aus der Planckschen Strahlungsformel folgenden Sehwankungsgesetze der Hohlraumstrahlung, mit denen Einstein seine Lichtquantenhypothese begriindet hatte, wurden im letzten, von Jordan stammenden Teil der beriihmten "Dreimannerarbeit" Born-Heisenberg-Jordan aus der auf das Maxwellfeld angewandten Quantentheorie abgeleitet.Die von Jordan und Dirac unabhangig voneinander aufgestellte statistische Transformationstheorie erlaubte die endgultige, allgemeine Fassung der Bornschen statistischen Deutung der Quantentheorie.Durch die antisymmetrische Feldquantisierung verankerte Jordan das Pauliprinzip in den Grundlagen der Feldtheorie.Dariiber hinaus hat Jordan "den ganzen Kreis der Sehopfung' abgeschrltten", mit Beitragen zur Quantenbiologie, EiweiBchemie, Astrophysik, Geophysik und Tiefenpsychoiogie.Dabei hat er immer wieder Argumente zugunsten des auch von Pauli hervorgehobenen Gedankens ausgetuhrt, daB "der neue quantentheoretische Aspekt der Naturbeschreibung, im Oegensatz zu den der klassischen Physik zugrundeliegenden Ideen, die Hoffnung auf eine zukiinftige Entwicklung verschiedener wissenschaftlicher Teildisziplinen in Richtung auf eine groBere Einheit des Ganzen erweckt" (Pauli).Jordans viele auch Nicht-Spezialisten verstandlichen Biicher und vortraae haben das Verstiindnis fUr die Naturwissenschaften und ihre zentrale Stellung 1:1 der Kultur der Gegenwart in weiten Kreisen geweckt.Aullerdem hat Pascual Jordan als Mitglied des drttten Deutschen Bundestages und als Prasident der Akademie der Wissenschaften und der Literatur in Mainz gezeigt, dall ein Gelehrter auch aullerhalb des Elfenbeinturms wirken kann.Die Leistungen Pascual Jordans wurden 1942 durch die Verleihung der Max-Planck-Medaille der DPG und 1955 durch die Carl-Friedrich-Gaull-Medaille der Braunschweiger wissenschaftlichen Gesellschaft gewiirdigt.Er erhielt 1967 den Preis der Gravity-Research-Foundation, New Boston (USA).Er ist o.Mitglied der Akademie Mainz, der er 1963 als Priisident vorstand.Irn Gegensatz zu den meisten Physikern hat Jordan die Mathematik nicht nur als Hilfsmittel der Physik, sondern auch als unabhangtges Gedankengebiiude abstrukter Strukturen bewundert und bereichert.Die von ihm in Zusammenarbcit mit John von Neumann und Eugen Wigner ausgefiihrten Arbeiten iiber potenzassoztative Algebren haben zu der ausgedehnten Theorie der Jordan-
In einer vollständigen Theorie gibt es zu jedem Element der Realität stets ein entsprechendes Element. Eine hinreichende Bedingung für die Realität einer physikalischen Größe ist die Möglichkeit, sie mit Sicherheit vorherzusagen, ohne das System zu stören. In der Quantenmechanik schließt im Falle von zwei physikalischen Größen, die durch nicht-kommutierende Operatoren beschrieben werden, das Wissen von der einen das Wissen von der anderen aus. Dann ist entweder (1) die Beschreibung der Realität, die durch die Wellenfunktion in der Quantenmechanik gegeben wird, nicht vollständig oder (2) diesen beiden Größen kann nicht gleichzeitig Realität zukommen. Die Betrachtung des Problems, Vorhersagen bezüglich eines Systems auf der Grundlage von Messungen zu machen, die an einem anderen System, das zuvor mit dem ersteren in Wechselwirkung stand, ausgeführt wurden, führen auf das Ergebnis, daß wenn (1) falsch ist, dann auch (2) falsch ist. Man wird so zu dem Schluß geführt, daß die Beschreibung der Realität, wie sie von der Wellenfunktion geleistet wird, nicht vollständig ist.
Der Begriff Quantenlogik geht auf Von Neumann und Birkhoff zurück, welche darunter den Verband der abgeschlossenen Unterräume eines separablen Hilbertraumes verstanden haben. In Verallgemeinerung davon werden verschiedene Klassen von Halbordnungen als Quantenlogiken bezeichnet.Ist eine Quantenlogik nicht von vornherein bekannt, so kann man versuchen, mit Hilfe von Messungen, welche zu sog. numerischen Ereignissen führen, diese zu charakterisieren. Insbesondere ist von Interesse, ob man es dann mit einem klassischen oder quantenmechanischen Phänomen zu tun hat.Sei S eine Menge von Zuständen eines physikalischen Systems und p(s) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, wenn sich das System im Zustand sausS befindet. Dann definiert p(s) eine Funktion von S nach [0, 1], welche als numerisches Ereignis, genauer, als S-Wahrscheinlichkeit, bezeichnet wird. Ordnet man eine Menge P von S-Wahrscheinlichkeiten bezüglich der Ordnung von reellen Funktionen, schließt die konstanten Funktionen 0 und 1 mit ein und verlangt, dass mit jedem pausP auch 1-p zu P gehört, so erhält man eine halbgeordnete Menge, welche als Quantenlogik interpretiert werden kann. Nach einer Einführung in benötigte physikalische Grundlagen werden verschiedene Klassen von solchen Quantenlogiken hinsichtlich ihrer Struktur untersucht, wobei insbesondere der Frage nachgegangen wird, wann diese Boolesche Algebren bilden, was charakteristisch für das Vorliegen eines klassischen physikalischen Systems ist. Ferner werden Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen von numerischen Ereignissen studiert, algebraische Repräsentationen angegeben und auf verschiedene Weisen die für die Erkennung eines klassischen Systems so wesentliche Eigenschaft charakterisiert, dass zwei S-Wahrscheinlichkeiten miteinander kommutieren. Darüber hinaus werden Familien von aus Korrelationswahrscheinlichkeiten zusammengesetzten Ungleichungen behandelt, welche die aus der Physik bekannten Bellschen-Ungleichungen verallgemeinern.
Die Gesetze der klassischen Mechanik und nach ihrem Vorbild die der ganzen klassischen Physik sind so beschaffen, daß, wenn die Variablen eines abgeschlossenen Systems in einem Anfangszeitpunkt gegeben sind, sie für jede andere Zeit berechnet werden können — wenigstens im Prinzip; denn die mathematische Durchführung übersteigt in den meisten Fällen mensch= liche Kräfte. Dieser deterministische Gedanke hat eine große Anziehungs= kraft auf viele Denker ausgeübt und wurde zu einem wesentlichen Teil der naturwissenschaftlichen Philosophie. Die moderne Physik aber hat den Determinismus mit andern überkommenen Lehren über Raum, Zeit und Materie unter dem Druck neuer empirischer Erkenntnisse aufgeben müssen. Die Quantenmechanik, die an die Stelle der Newtonschen Mechanik getreten ist, erlaubt nur statistische Aussagen über das Verhalten von Masse= teilchen. Die große Mehrzahl der Physiker hat sich mit dieser Sachlage abgefunden; denn sie entspricht genau der empirischen Situation in der Atom= und Kernphysik, wo die Experimente im wesentlichen auf Zählun= gen von Ereignissen beruhen. Unter den Theoretikern aber sind einige, die sich damit nicht zufrieden geben, und zwar sind es gerade einige der großen Männer, denen die Quantentheorie ihre Entstehung und Entwick= lung verdankt. Soviel ich weiß, war Planck selbst immer skeptisch gegen über der statistischen Deutung der Quantenmechanik. Von Einstein gilt das gleiche; er hat bis heute nicht aufgegeben, den Widersinn dieser Deu= tung durch raffinierte Beispiele nachzuweisen (wobei er übrigens noch mehr Anstoß nimmt an der Auflösung des Begriffs der physikalischen Realität, die mit der Aufgabe des Determinismus eng zusammenhängt). Schrödinger geht noch weiter und schlägt vor, den Begriff von Teilchen (Elektronen, Kernen, Atomen etc.) zu opfern und die Physik ganz und gar auf die Vorstellung von Wellen aufzubauen, die dann nach der Wellen= mechanik deterministischen Gesetzen gehorchen. de Broglie (und andere) gehen den umgekehrten Weg; sie verwerfen die Wellen und versuchen eine Umdeutung der Quantenmechanik, bei der im Prinzip alles determiniert ist und nur durch das Vorhandensein verborgener, nicht beobachtbarer Para= meter eine Unbestimmtheit der Vorhersagen entsteht. — Keiner von ihnen leugnet, daß die Quantenmechanik im Bereiche ihrer Zuständigkeit (d. h. abgesehen von der Theorie der Elementarteilchen) im Einklang mit der Er= fahrung ist und allen Anforderungen der Experimentatoren genügt. Die Ablehnung wird in jedem Falle damit begründet, daß die übliche Deutung der Quantenformeln unklar und philosophisch unbefriedigend ist.
Abstract Im 1. Abschnitt wird gezeigt, daß die Annahme einer relativen Häufigkeit über der pq-Ebene mit der Heisenberg sehen Unschärferelation nicht verträglich ist, so daß auf die quantenmechanische Statistik gewöhnliche statistische Methoden nicht anwendbar sind. Abschnitt 2 gibt eine Darstellung der höheren Korrelationsrechnung (nach Gebelein) zur Berechnung einer die Korrelation beschreibenden Matrix. Die reziproke Frage, aus dieser Matrix die Statistik abzuleiten, führt zu einer Verallgemeinerung der gewöhnlichen statistischen Methoden. Abschnitt 3 enthält den Nachweis, daß die quantenmechanische Statistik, ähnlich wie die klassische, einen Sonderfall der verallgemeinerten Statistik darstellt. In Abschnitt 4 wird untersucht, wie sich die Statistik klassischer und quantenmechanischer Gibbs scher Gesamtheiten in die verallgemeinerte Statistik einordnet