En 1934 Karl Popper introdujo un argumento que lleva su nombre, con el que intentaba mostrar que el cumplimiento del principio de incerteza de Heisenberg en particular y el formalismo de la mecánica cuántica en general, implicaban una no-separabilidad en ciertos sistemas cuánticos correlacionados. Este argumento, si bien es erróneo, fue tomado como punto de partida por EPR3 para desarrollar el suyo. A pesar de lo erróneo de la propuesta de Popper su argumento presenta una gran riqueza y corrigiendo algún error se lo puede reformular sin que pierda vigencia, en esta comunicación se utiliza la función de covariancia cuántica (FCQ) para obtener información acerca de la separabilidad o no del sistema ya citado. Surge esta última como característica fundamental en la mecánica cuántica y los conmutadores "no locales", como una consecuencia de la no-separabilidad del sistema cuántico. Por último, se sugiere la construcción de un nuevo formalismo de la Mecánica Cuántica en el que el valor de los conmutadores no sea postulable, sino calculable mediante FCQ.
En 1934 Karl Popper introdujo un argumento que lleva su nombre, con el que intentaba mostrar que el cumplimiento del principio de incerteza de Heisenberg en particular y el formalismo de la mecánica cuántica en general, implicaban una no-separabilidad en ciertos sistemas cuánticos correlacionados. Este argumento, si bien es erróneo, fue tomado como punto de partida por EPR3 para desarrollar el suyo. A pesar de lo erróneo de la propuesta de Popper su argumento presenta una gran riqueza y corrigiendo algún error se lo puede reformular sin que pierda vigencia, en esta comunicación se utiliza la función de covariancia cuántica (FCQ) para obtener información acerca de la separabilidad o no del sistema ya citado. Surge esta última como característica fundamental en la mecánica cuántica y los conmutadores "no locales", como una consecuencia de la no-separabilidad del sistema cuántico. Por último, se sugiere la construcción de un nuevo formalismo de la Mecánica Cuántica en el que el valor de los conmutadores no sea postulable, sino calculable mediante FCQ.
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
[ES] Hoy en día hay sobradas razones para considerar la teoría cuántica como uno de los mayores éxitos de la física moderna. Después de unos primeros años dificultosos, inaugurados por el descubrimiento del cuanto de acción por Max Planck en 1900, la teoría física cuántica acumula éxitos y consigue describir una cantidad de fenómenos cada vez mayor. No obstante, también es una teoría que desafía a nuestra intuición, pues choca con las nociones más elementales de la física clásica. La validez del formalismo de la mecánica cuántica está fuera de toda duda, pero de este no se desprende inmediatamente una imagen de la realidad microscópica. Esto supone un problema serio, ya que el objetivo de la física es dar una descripción de la realidad, además de permitirnos manipularla. Profundizar en este tema es el motivo principal para hacer este trabajo. Una de las primeras soluciones al problema presentado, y también la más dominante,1 es la interpretación de Copenhague. Se asocian comúnmente a esta físicos como Max Born, Werner Heisenberg y Niels Bohr. Esta interpretación suele entenderse como sinónimo de indeterminismo, el principio de correspondencia de Bohr, la interpretación estadística de la función de onda de Born y la interpretación complementaria de Bohr de ciertos fenómenos atómicos.2 Sin embargo, a día de hoy se dispone de suficiente información para saber que bajo este término se agrupan interpretaciones muy diferentes entre sí.3 A pesar de las divergencias entre los autores mencionados, está ampliamente aceptado que la perspectiva general que comparten tiene su origen en el trabajo de Bohr.4 Así, he centrado el trabajo en su solución al problema de la física cuántica y en su filosofía de la física.
Este preprint introduce la Teoría del Presente Continuo Cuántico (TPCQ), un marco conceptual que propone que el tiempo es una propiedad física emergente generada por las transiciones de estado cuántico de la materia. En lugar de considerar el tiempo como un parámetro de fondo preexistente, la TPCQ postula que cada sistema material genera micro-pulsos temporales surgidos de su evolución cuántica interna, y que la estructura global del tiempo cósmico emerge de la sincronización colectiva—parcial, imperfecta, relativista y modulada por la gravedad—de todos estos micro-pulsos cuánticos. El objetivo de la TPCQ no es proporcionar una formalización matemática completa, que permanece abierta, sino articular un modelo conceptual coherente que invite al desarrollo matemático y a la exploración experimental potencial. La TPCQ busca cerrar la brecha conceptual entre relatividad y mecánica cuántica reinterpretando el flujo temporal como una propiedad emergente de la materia y no como un telón de fondo fundamental. La versión 0.2 amplía este marco introduciendo una explicación conceptual del surgimiento del espacio. Desde esta perspectiva, el tiempo surge del ritmo interno de un único sistema, mientras que el espacio solo aparece cuando muchos de estos ritmos se sincronizan y forman una estructura ordenada. Esta adenda también sugiere que el campo de Higgs actúa como el medio físico que permite esta sincronización. En conjunto, estas ideas ofrecen una perspectiva conceptual unificada que conecta la discreción cuántica, la geometría relativista y fenómenos como la interferencia, la decoherencia, el entrelazamiento y la información de los agujeros negros. La QCPT 0.2 presenta el universo como un proceso rítmico en el que el tiempo emerge del primer micropulso de materia y el espacio surge como la arquitectura generada por la sincronización relativa entre múltiples micropulsos temporales (MPTs). Esta versión (0.3) ajusta algunos errores tipográficos y afina la formulación de los postulados fundamentales para mejorar la coherencia conceptual entre el tiempo emergente y la emergencia del espacio. Nota: Finalmente, se ha publicado una Hoja de Ruta para la Formalización Matemática de la TPCQ como archivo anexo en la versión en inglés (vO.3.1), que proyecta su evolución hacia un posible modelo de campo físico. En este documento anexo, el micro-pulso temporal (MPT), es propuesto como un campo escalar rítmico, susceptible de ser formalizado mediante un Lagrangiano. La hoja de ruta sugiere que el tiempo cósmico y la estructura del espacio emergen como soluciones dinámicas de auto-consistencia global, inspiradas en la noción estructural de equilibrio tipo Nash y en la dinámica de osciladores acoplados del modelo de Kuramoto. Este enfoque se presenta como una guía preliminar para el desarrollo matemático futuro de la interacción entre el MPT, la gravedad y el campo de Higgs.
El caracter fundamentalmente indeterminista de la mecanica cuantica (en su interpretacion estandar) ha supuesto el abandono casi definitivo de la concepcion clasica que las nociones de causalidad y determinismo eran practicamente coincidentes., lo cual ha motivado un cierto escepticismo (causal) en gran parte de los filosofos de la ciencia modernos. A pesar de ello, se ha invertido un gran esfuerzo investigador al tratar de desarrollar un concepto de causalidad que, ademas de capturar adecuadamente lo que intuitivamente reconocemos como interacciones causal,es pueda ser incorporado en el marco teorico-conceptual de la mecanica cuantica. Solo la idea de causalidad probabilista y la aplicacion de diferentes tecnicas de inferencia causal -tales como la Condicion Causal de Markov, y en concreto el Principio de Causa Comun de Reichenbach- parecen adecuadas para la caracterizacion de la causalidad en tales condiciones. Por otro lado, las correlaciones Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) suponen un excelente campo de estudio si pretendemos investigar la existencia de una posible estructura causal cuantica.
De entre los diversos modelos causales propuestos como explicacion de dichas correlaciones, parecen especialmente intuitivas las explicaciones que incluyen causas comunes, debido especialmente a las restricciones relativistas que incorpora el experimento EPR. Las explicaciones de las correlaciones EPR en terminos de causas comunes, sin embargo, no dejan de ser polemicas. Por un lado, no esta todavia del todo claro si el Principio de Causa Comun de Reichenbach (PCCR) puede ser tomado como un metodo valido y fiable de inferencia causal. Por otro lado, la opinion generalizada establece que, sea cual sea el estatus del PCCR, las explicaciones de las correlaciones EPR en terminos de causas comunes parecen abocadas, bajo condiciones estandar de localidad, a satisfacer las desigualdades de Bell.
Eesta tesis discute, en primer lugar los argumentos mas relevantes en torno al estatus del PCCR, incluidos los contraejemplos mas importantes (van Fraassen, 1982; Cartwright, 1993; Sober, 2000). Se defiende que las implicaciones de dichos contraejemplos pueden ser evitadas bajo ciertas apreciaciones. Se concluye, por lo tanto, que el PCCR puede servir, al menos, como punto de partida para la inferencia causal a partir de relaciones estadisticas.
La tesis defiende, por otro lado, que los diferentes argumentos en favor de la opinion generalizada de que las explicaciones de causa comun para las correlaciones EPR quedan excluidas a la luz de la violacion de las desigualdades de Bell no son todo lo concluyentes como se pretende. La tesis analiza en detalle el argumento quiza mas influyente en este sentido (van Frassen, 1982), asi como otras propuestas mas recientes (GraBhoff et al, 2005), y se concluye un ambos casos que los argumentos correspondientes contienen premisas injustificadas. Las implicaciones de este analisis abren la puerta a modelos causales (de causa comun) para EPR que no se ven comprometidos por el Teorema de Bell. Se propone en la tesis un modelo de este tipo que, sin embargo, necesita de una reinterpretacion ontologica de los eventos postulados comocausa comun. El modelo propuesto sugiere por tanto una revision de las nociones estandar tanto de causalidad como de localidad.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist