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Bulletin of the American Physical Society

Embedding quantum simulators

Roberto Di Candia

Published Mar 6, 2014• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Quantum simulations consist in the reproduction of the dynamics of a quantum system on a controllable platform, with the goal of capturing an interesting feature of the considered model.It is broadly believed that the advent of quantum simulators will represent a technological revolution, as they promise to solve several problems which are considered intractable in a classical computer.Although there are strong theoretical bases confirming this claim, several aspects of quantum simulators have still to be studied, in order to faithfully prove their feasibility.Moreover, the general question on which features of the considered models are simulatable is an attractive research topic, whose study would help to define the limits of a quantum simulator.In this Thesis, we develop several algorithms, which are able to catch relevant properties of the simulated quantum model.The proposed protocols follow a new concept named embedding quantum simulator, in which the simulated Schrödinger equation is mapped onto an enlarged Hilbert space in a nontrivial way.Via this embedding, we are able to retrieve, by measuring few observables, quantities that generally require full tomography in order to be evaluated.Moreover, we pay a special attention to the experimental feasibility, defining mappings which are space e cient, and do not require the implementation of challenging Hamiltonians.The presented algorithms are general, and they may be implemented in several quantum platforms, e.g.photonics, trapped ions, circuit QED, among others.First, we propose a protocol which simulate the dynamics of an embedded Hamiltonian, allowing for the e cient extraction of a class of entanglement monotones.This is done using an embedding that is able to implement unphysical operations, as is the case of complex conjugation.The analysis is accompanied with a study of feasibility in a trapped-ion setup, which can be generalised to other platforms following similar computational models.Second, we propose an algorithm to measure n-time correlation functions of spinorial, fermionic, and bosonic operators, by considerably improving previous versions of the same result.We apply this protocol to the computation of magnetic susceptibilities, as well as to the simulation of Markovian and non-Markovian dissipative processes in a novel way, without the necessity of engineering any bath.All the proposed protocols are designed with a single ancillary qubit, minimising the needed experimental resources.We believe that embedding quantum simulators have a potential to become a powerful tool in the quantum simulation theory, since they pave the way for improving the flexibility of a quantum simulator in di↵erent experimental contexts.Resumen'' !!!En! esta!Tesis,!introducimos!el! concepto!de! "Embedding!Quantum!Simulator"! (EQS),!un!paradigma!que!nos!permite!capturar!características!especificas!de!un! modelo!cuántico,!cuya! medida!típicamente!supone!un! desafío!en! un! simulador!cuántico!estándar!("one@to@one!quantum!simulator"),!donde!la! dinámica!se! implementa!directamente.! El! "Embedding!Quantum!Simulator"! consiste!en! la! codificación!adecuada!de! la! dinámica!simulada!en! un! espacio!de! Hilbert! ampliado.! De! esta! manera,!cantidades!físicas!interesantes!están!convenientemente!mapeadas!a! observables!físicos,!superando!la! necesidad!de! tomografía!cuántica!y! ganando!en! términos!de! eficiencia.! !Los! protocolos! propuestos!son!muy!generales,!en!el!sentido!que!pueden!ser!implementados!en! plataformas!cuánticas!que! siguen!modelos!computacionales!típicos.! De! hecho,!una! característica!del! "Embedding!Quantum!Simulator"! es! que! puede!ser! aplicado!a! modelos!cuánticos!generales,!con! un! pequeño!coste!en! términos!de! recursos!experimentales!adicionales.! En! concreto,!hemos!diseñado!mapeos!capaces!de!capturar!la!dinámica!de!medidas!de!entrelazamiento!y!para!medir!las! funciones!de!correlación!temporales!en!sistemas!bosónicos!y!fermiónicos.!En!el! caso!de!las!medidas!de!entrelazamiento,!hemos!proporcionado!una!propuesta!de! implementación!realista!en!plataformas!basadas!en!iones!atrapados,!teniendo!en! cuenta!del! ruido!típico!de! estos!sistemas.! A! su! vez,! el! protocolo!para! calcular!funciones!de!correlación!ha!sido!aplicado!a!la!computación!de!susceptibilidades!magnéticas,!y! en! general!al! calculo!de! funciones!de! respuesta!lineales!y! no! lineales.! Por! otra! parte,!hemos!propuesto!un! nuevo!algoritmo!para! simular!sistemas!disipativos!sin! necesidad!de! hacer!ingeniería!de! baños.! Esto! nos! ha! permitido!introducir!un! nuevo!concepto!de! simulador!cuántico,!donde!no! queremos!crear!el! estado!final!bajo! una! dinámica!dada,!sino! que! apuntamos!directamente!al! valor!esperado!de! un! observable.! Por! tanto!el! EQS! es! potencialmente!útil! en! varios!campos,!como! la! materia!condensada,!química!cuántica,!óptica!cuántica,!etc.!! Esta!Tesis!contiene!un!Capitulo!introductorio,!seguido!de!cuatro!Capítulos.!Cada!uno! contiene!ejemplos!de! aplicaciones!del! "Embedding!Quantum!Simulator".! Concluimos! con! una! sección!de! Apéndices,! que! contiene!las! demostraciones!técnicas!de!las!afirmaciones!de!la!parte!principal.! En!los!Capítulos!2!y!3,!hemos!estudiado!un!protocolo!para!simular!la!dinámica!de! una! clase!de! medidas!de! entrelazamiento!en! sistemas!de! qubits.! El! mapeo!propuesto!puede!ser! implementado!en! una! plataforma!cuántica!añadiendo!un! solo! qubit,!y! la! longitud!de! interacción!de! !la! dinámica!se! incrementa!en! uno.! Todo!el!sistema!tiene!que!interactuar!con!el!qubit!auxiliar,!y!eso!puede!dar!lugar!a! interacciones! no! locales.! Hemos! mostrado!como! resolver!este! problema,!mediante!la!definición!de!un!qubit!lógico!a!costa!de!eficiencia!espacial,!es!decir!del! numero!de! partículas.! Por! último,!generalizamos! los! resultados!al! caso! de! matrices!densidad,!discutiendo!un! algoritmo!híbrido!clásico@cuántico.! Aunque!hemos!tratado!el! caso! de! las! medidas!de! entrelazamiento,!es! importante!mencionar!que! el! protocolo!propuesto!es! capaz!de! simular!operadores!antilineales!generales,!que! no! se! pueden!medir!en! un! "one@to@one!quantum!simulator".! En! el! Capitulo!3,! hemos!propuesto!una! de! estas!ideas!implementación!en! plataformas!basadas!en! iones!atrapados.! Este! Capitulo!proporciona!también!un! protocolo!para! medir!un! producto!tensorial!arbitrario!de! matrices!de! Pauli,!mediante!su! codificación!en! un! observable!de! un! qubit!! auxiliar.!El!análisis!vale!en!general!para!plataformas!cuánticas!donde!puertas!de! Mølmer@Sørensen!pueden!implementarse! de! manera!eficiente,!como! es! el! caso! de!la!óptica!lineal.!! Una! futura!investigación! interesante!de! estos!resultados!sería!el! estudio!de! las! propiedades!del! mapeo!propuesto,!con! el! fin! de! aumentar!la! flexibilidad!de! un! simulador!cuántico.! De! hecho,!si! no! estamos!limitados!a! un! solo! qubit!auxiliar,!mapeos!arbitrarios!a! espacio!de! Hilbert! más! grandes!podrían!simular!otras!cantidades!no!físicamente!accesible!en!un!"one@to@one!quantum!simulator".!Otra!cuestión!es! cómo! el! entorno!afecta!a! los! resultados!finales!de! la! dinámica!unitaria!simulada.! Aquí,! el! "Embedding!Quantum!Simulator"! podría!conducir!a! una!mejora!de!la!estabilidad!frente!al!ruido.!Estas!preguntas!se!quedan!abiertas,!y!requieren!de!mas!análisis!para!se!bien!entendida.!! Un!experimento!de!primeros!principios!basado!en!estas!ideas!se!está!ejecutando!en! este! momento!en! el! grupo!del! Prof.! Andrew!White! de! la! Universidad!de! Queensland! (Brisbane,!Australia).! La! implementación!es! en! una! plataforma!de! fotónica,!y!consiste!en!realizar!medidas!de!entrelazamiento!entre!dos!qubits!que! evolucionan!bajo! una! dinámica!específica.! El! experimento!se! realiza!con! tres! qubits,!cada! uno! de! ellos!correspondiente!a! una! polarización!de! la! señal!óptica!que!se!propaga.!Todas!las!operaciones!se!implementan!con!dispositivos!estándar!de!óptica!cuántica,!por!ejemplo!divisores!de!haz,!rotaciones!de!qubits!y!puertas!NOT! controladas.! Resultados! preliminares!muestran!que! la! medida!de! entrelazamiento!elegida!posee!una! alta! fidelidad,!y! eso! puede!llevar!a! implementaciones!similares!en!otras!plataformas!basadas!en!iones!atrapados!o! circuitos!superconductores.! En! el! Capitulo!4,! hemos!desarrollado!un! protocolo!para! computar!funciones!de! correlación!temporal!de! operadores!generales!en! un! simulador!cuántico.! También! en! este! caso,!hemos!mapeado!a! una! ecuación!de! Schrödinger!en! un! espacio!de!Hilbert!de!dimensión!doble.!El!mapeo!tiene!la!misma!estructura!que! el!caso!de!los!operadores!antilineales,!discutido!en!los!Capitulos!2!y!3,!y!esto!es! un!indicio!que!otras!aplicaciones!no!triviales!son!posibles.!Hemos!discutido!cómo!aplicar!el! protocolo!en! los! casos!espinorial,!fermionico!y! bosónicos,!mostrando!que! el! método!es! eficiente!en! términos!de! tiempo!y! de! espacio.! El! algoritmo!propuesto!no! requiere!la! implementación!de! Hamiltonianos! controlados,!que! puede!ser! un! problema!complicado!para! la! mayoría!de! modelos!interesante!desde!el! punto!de! vista!físico.! Este! aspecto,!en! comparación!con! los! protocolos!anteriores,!conlleva!una!ganancia!enorme!a!nivel!experimental,!y!es!posible!que! pronto!veamos!experimentos!de! primeros!principios!donde!se! aplica!este! protocolo.!También!en!este!caso!necesitamos!que!el!sistema!interactúe!a!nivel!no! local!con!un!qubit!auxiliar.!Este!problema!se!puede!resolver!de!la!misma!manera!que!en!el!Capitulo!1,!codificando!el!qubit!auxiliar!en!una!serie!de!qubits!lógicos.! Como! aplicación! típica,!hemos!considerado!la! simulación!cuántica!de! susceptibilidades!magnéticas!y!de!funciones!de!respuesta!lineales!y!no@lineales.! Este! protocolo!es! suficientemente!simple!para! permitir!una! implementación!experimental!con!la!tecnología!actual!o!en!un!futuro!próximo,!dependiendo!de!la! plataforma.! En! el! Capitulo!5,! hemos!estudiado!un! protocolo!original!para! simular!procesos!disipativos!Mark

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Roberto Di Candia, Bernabé Mejía, Hernán Castillo +3 more

We introduce the concept of embedding quantum simulators, a paradigm allowing the efficient quantum computation of a class of bipartite and multipartite entanglement monotones. It consists in the suitable encoding of a simulated quantum dynamics in the enlarged Hilbert space of an embedding quantum simulator. In this manner, entanglement monotones are conveniently mapped onto physical observables, overcoming the necessity of full tomography and reducing drastically the experimental requirements. Furthermore, this method is directly applicable to pure states and, assisted by classical algorithms, to the mixed-state case. Finally, we expect that the proposed embedding framework paves the way for a general theory of enhanced one-to-one quantum simulators.

arXiv:1306.0510•Physical Review Letters•Dec 9, 2013•26 citations

Sistemas cuánticos abiertos: descripción geométrica, dinámica y control

Jorge Alberto Jover-Galtier

El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist

•Jan 1, 2017•0 citations

Quantum Simulations

Antti Regelin

Quantum simulation involves using a quantum system to study another quantum system. The proposal to simulate quantum physics using quantum mechanical devices, as outlined by Richard Feynman in 1982, stems from classical computers' challenges in simulating quantum systems. The pursuit of simulating complex quantum systems has led to the intersection of quantum mechanics and quantum computing. This offers new opportunities to understand and manipulate the quantum world. Central to describing quantum dynamics is the Hamiltonian operator $\hat{H}$, which governs the time evolution of physical systems and serves as the mathematical foundation for quantum simulations. This thesis explores the methodologies and advancements in simulating Hamiltonian operators on quantum computers, focusing on decomposing these operators into quantum gates and the efficiency gains over classical computational approaches. Initially, the thesis explains the fundamental theory and basics of quantum computing. Further it dives into the foundations of the Hamiltonian operator within quantum mechanics, highlighting its role in describing the dynamics of quantum systems. The complexity and high-dimensional nature of Hamiltonian matrices necessitate using quantum computers to simulate quantum phenomena accurately and efficiently. The process of simulating the Hamiltonian operator on a quantum computer involves a detailed examination of the strategies for decomposing the operator into a sequence of quantum gates. This decomposition is crucial for translating the abstract mathematical description of quantum systems into the physical operations of a quantum computer. By utilizing the principles of quantum mechanics, such as superposition and entanglement, quantum gates manipulate qubits to mimic the evolution of quantum states as the Hamiltonian operator dictates. Latter portions of the thesis are dedicated to comparing the efficiency of quantum simulations against traditional classical simulations and inspecting efficient quantum simulations. Quantum computers offer a polynomial or an exponential speedup for certain classes of problems, such as those involving highly entangled quantum states or requiring the simulation of complex quantum dynamics. This advantage is due to the quantum computer's ability to naturally represent and process quantum information - a task for which classical computers require exponential resources as the system size increases. The efficiency of simulating the Hamiltonian operator on a quantum computer is further enhanced through optimization techniques and algorithmic improvements. These include error mitigation strategies and the development of quantum algorithms tailored to specific types of Hamiltonian operators. The thesis presents a comprehensive analysis of these methods, demonstrating how they make quantum simulations more practical and accessible for scientific research and technological development. In conclusion this thesis is a literature review that examines the transformative potential of quantum simulations. By efficiently simulating the Hamiltonian operator on quantum computers researchers can explore quantum phenomena with precision, paving the way for breakthroughs in quantum physics, materials science, and beyond. The advancements in quantum computing technology and algorithmic approaches discussed here highlight the current capabilities and future explorations in the quantum realm.

•Sep 9, 2026•0 citations

Experimentos con fotones entrelazados para el estudio de la interacción entre un sistema cuántico y su entorno

Laura T. Knoll

En esta Tesis se presentan los resultados de implementaciones ópticas de algoritmoscuánticos, orientadas a protocolos de comunicación y procesamiento cuántico de la información. En particular, se estudiaron algoritmos cuánticos basados en entrelazamiento y se analizó la interacción del sistema cuántico en cuestión con distintos entornos ruidosos. Estas investigaciones se realizaron en forma mixta, tanto experimental como teórica, contemplando etapas de interacción del sistema con entornos controlados. Se realizaron experimentos de teleportación cuántica y distribución cuántica de claves (QKD), con el propósito de ganar experiencia en la manipulación y control de sistemas cuánticos. A partir de estos experimentos, se demostraron algoritmos eficientes y robustos ante entornos ruidosos que generan decoherencia en el recurso entrelazado. Para llevar a cabo estos experimentos, se desarrolló una fuente de pares de fotones entrelazados en polarización, basada en el proceso de conversión paramétrica descendente. La utilización de fotones como recurso físico permite la codificación de qubits en diversos grados de libertad de los mismos. En los experimentos realizados en esta Tesis, a partir de un único fotón se codificaron dos qubits en los grados de libertad de polarización y momento lineal del mismo. Para representar la interacción del sistema con un entorno local, se utilizaron los dos grados de libertad de polarización y camino para representar el sistema y el entorno, respectivamente. Estas interacciones se producen en arreglos experimentalesbasados en óptica lineal. Los arreglos experimentales diseñados e implementados permitieron un estudio versátil de los distintos protocolos propuestos, y un control sistemático de los entornos. Se estudiaron las condiciones para las cuales la dinámica del sistema era robusta frente al ruido y la acción del mismo sobre el desempeño de estos protocolos. En particular se realizó un estudio de la eficiencia del protocolo de teleportación bajo distintos tipos e intensidades de interacción con un entorno, pudiendo obtener condiciones para las cuales el sistema presenta baja sensibilidad a ciertos tipos de ruido. Asimismo, para el caso de distribución cuántica de claves, la interacción del sistema con el entorno nos permitiómodelar la acción de un espía y estudiar la seguridad de protocolos de QKD. La evolución de los sistemas cuánticos inducida por la interacción con entornos locales genera decoherecia, afectando el grado de entrelazamiento inicial y su utilización como recurso cuántico. Se estudiaron entonces distintas condiciones de ruido cuántico y su efecto sobre el entrelazamiento de un sistema, obteniendo una relación entre la "muerte del entrelazamiento" y canales efectivos capaces de romper completamente el entrelazamiento, para sistemas de dos qubits. Estos resultados permitieron anticipar qué estados pueden sufrir muerte del entrelazamiento o no para una dada evolución. Conocer de antemano el estado inicial y/o el canal cuántico que afecta el recurso entrelazado permite elegir demanera óptima los parámetros necesarios para un procesamiento cuántico eficiente de la información. La base de todos los experimentos realizados es una fuente de pares de fotones entrelazados y un arreglo óptico confiable y versátil basado en óptica lineal. El control sobre los estados fotónicos generados se realiza interferométricamente y en polarización. El dominio de estas técnicas de control de estados cuánticos es un resultado en sí mismo y el arreglo experimental desarrollado se presenta como una plataforma robusta para el estudio de la dinámica de procesos cuánticos. A modo de síntesis, entendemos que en el desarrollo de esta Tesis de Doctorado secumplieron los dos objetivos propuestos: por un lado estudiar la influencia de procesos de decoherencia e interacción con entornos en la eficiencia de algoritmos de información cuántica y por otro desarrollar herramientas ópticas para el estudio e implementación eficiente de estos algoritmos.

•Mar 13, 2018•0 citations

Measuring entanglement and topology in optical lattices

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Como hilo conductor, la tesis trata la posibilidad de caracterizar y detectar propiedades no locales de gases atomicos ultrafrios. La principal motivacion para esta coleccion de propuestas surge del campo de la simulacion cuantica y la informacion cuantica. A continuacion vamos a listar los resultados principales de esta tesis, siguiendo aproximadamente el orden en que han sido estructurados los capitulos: Hemos revisado la forma en la que un modelo de tipo enlace fuerte con particulas masivas puede dar lugar a teorias de fermiones sin masa de Dirac en el limite de baja energia. En particular, se detalla la relacion entre todos los posibles terminos que pueden incluirse en el Hamiltoniano (sin interaccion) y los parametros microscopicos controlables. Las especificidades de la implementacion son explicadas de forma cuantitativa, con el objetivo de realizar una propuesta experimental completa.Por ultimo, se sugiere el empleo de varios protocolos de medida, segun las caracteristicas particulares del experimento que se quiera realizar, y que allanan el camino para la realizacion de simulaciones mas complejas en experimentos similares. Hemos demostrado que un aislante de Chern puede ser implementado y car- acterizado en un experimento de redes opticas. Un indice (o winding number, en ingles) que toma valores en los enteros puede ser medido a partir de imagenes en tiempo de vuelo del gas atomico, lo que resulta equivalente a la medida de su numero de Chern. Hemos comprobado numericamente que el protocolo de deteccion es robusto frente a las inhomogeneidades y temperaturas propias de estos experimentos con redes opticas, como cabe esperar de un invariante topologico entero. Hemos demostrado que el numero de Chern de un sistema 4x4 con invariancia traslacional puede ser descompuesto como la suma de las fases de Berry de dos particiones de tipo pseudoespin. La prueba requiere que dichas particiones no se encuentren maximamente entrelazadas en ningun punto en espacio de momentos -lo que supone una gran restriccion a la hora de seleccionar las biparticiones. En general, esta restriccion implica motivar la eleccion de particiones en base a alguna simetria del problema. Ademas, y basandonos en este resultado y el expuesto en el punto anterior, podemos concluir que el numero de Chern de un sistema compuesto tambien puede ser medido mediante imagenes en tiempo de vuelo; exponemos este resultado con un ejemplo paradigmatico: una propuesta para medir modos de Majorana en un experimento con redes opticas completamente detallado. Hemos construido un modelo de enlace fuerte que incluye el efecto de potenciales Abelianos y no Abelianos sobre fermiones masivos. Las medidas realizadas unicamente en el grado de libertad de espin son suficientes para construir un indice topologico que cambia de valor al cruzar una transicion de fase provocada por el potencial no Abeliano, como se demuestra numericamente. Reafirmando la intuicion de la que nos dota el resultado expuesto en el punto anterior, la cantidad de informacion extraida a partir de estas medidas parciales depende criticamente de la ruptura de simetrias relevantes del problema. Hemos demostrado que la fidelidad local a un estado grafo puede ser medida en un modelo sencillo de bits cuanticos- en una red atomica bipartita. Lo que es mas importante, esta fidelidad contituye un testigo de entrelazamiento genuinamente multipartito que puede ser computado sobre regiones arbitrarias, haciendo uso unicamente de dos conjuntos de medidas simultaneas. Hemos incluido evidencia numerica de que este protocolo funciona aun en presencia de diferentes fuentes de ruido propias de experimentos con redes opticas. Aunque las medidas son en si destructivas, el metodo es util tanto como forma de certificar entrelazamiento entre muchas particulas como para calibrar un experimento que tenga el proposito de construir estados grafo de gran tamano.

•Jan 1, 2014•0 citations

Simulating Quantum Computations on Classical Machines: A Survey

Kieran P. Young, Marcus Scese, Ali Ebnenasir

We present a comprehensive study of quantum simulation methods and quantum simulators for classical computers. We first study an exhaustive set of 150+ simulators and quantum libraries. Then, we short-list the simulators that are actively maintained and enable simulation of quantum algorithms for more than 10 qubits. As a result, we realize that most efficient and actively maintained simulators have been developed after 2010. We also provide a taxonomy of the most important simulation methods, namely Schrodinger-based, Feynman path integrals, Heisenberg-based, and hybrid methods. We observe that most simulators fall in the category of Schrodinger-based approaches. However, there are a few efficient simulators belonging to other categories. We also make note that quantum frameworks form their own class of software tools that provide more flexibility for algorithm designers with a choice of simulators/simulation method. Another contribution of this study includes the use and classification of optimization methods used in a variety of simulators. We observe that some state-of-the-art simulators utilize a combination of software and hardware optimization techniques to scale up the simulation of quantum circuits. We summarize this study by providing a roadmap for future research that can further enhance the use of quantum simulators in education and research.

arXiv:2311.16505•Nov 28, 2023•4 citations
Quantum simulations consist in the reproduction of the dynamics of a quantum system on a controllable platform, with the goal of capturing an interesting feature of the considered model.It is broadly believed that the advent of quantum simulators will represent a technological revolution, as they promise to solve several problems which are considered intractable in a classical computer.Although there are strong theoretical bases confirming this claim, several aspects of quantum simulators have still to be studied, in order to faithfully prove their feasibility.Moreover, the general question on which features of the considered models are simulatable is an attractive research topic, whose study would help to define the limits of a quantum simulator.In this Thesis, we develop several algorithms, which are able to catch relevant properties of the simulated quantum model.The proposed protocols follow a new concept named embedding quantum simulator, in which the simulated Schrödinger equation is mapped onto an enlarged Hilbert space in a nontrivial way.Via this embedding, we are able to retrieve, by measuring few observables, quantities that generally require full tomography in order to be evaluated.Moreover, we pay a special attention to the experimental feasibility, defining mappings which are space e cient, and do not require the implementation of challenging Hamiltonians.The presented algorithms are general, and they may be implemented in several quantum platforms, e.g.photonics, trapped ions, circuit QED, among others.First, we propose a protocol which simulate the dynamics of an embedded Hamiltonian, allowing for the e cient extraction of a class of entanglement monotones.This is done using an embedding that is able to implement unphysical operations, as is the case of complex conjugation.The analysis is accompanied with a study of feasibility in a trapped-ion setup, which can be generalised to other platforms following similar computational models.Second, we propose an algorithm to measure n-time correlation functions of spinorial, fermionic, and bosonic operators, by considerably improving previous versions of the same result.We apply this protocol to the computation of magnetic susceptibilities, as well as to the simulation of Markovian and non-Markovian dissipative processes in a novel way, without the necessity of engineering any bath.All the proposed protocols are designed with a single ancillary qubit, minimising the needed experimental resources.We believe that embedding quantum simulators have a potential to become a powerful tool in the quantum simulation theory, since they pave the way for improving the flexibility of a quantum simulator in di↵erent experimental contexts.Resumen'' !!!En! esta!Tesis,!introducimos!el! concepto!de! "Embedding!Quantum!Simulator"! (EQS),!un!paradigma!que!nos!permite!capturar!características!especificas!de!un! modelo!cuántico,!cuya! medida!típicamente!supone!un! desafío!en! un! simulador!cuántico!estándar!("one@to@one!quantum!simulator"),!donde!la! dinámica!se! implementa!directamente.! El! "Embedding!Quantum!Simulator"! consiste!en! la! codificación!adecuada!de! la! dinámica!simulada!en! un! espacio!de! Hilbert! ampliado.! De! esta! manera,!cantidades!físicas!interesantes!están!convenientemente!mapeadas!a! observables!físicos,!superando!la! necesidad!de! tomografía!cuántica!y! ganando!en! términos!de! eficiencia.! !Los! protocolos! propuestos!son!muy!generales,!en!el!sentido!que!pueden!ser!implementados!en! plataformas!cuánticas!que! siguen!modelos!computacionales!típicos.! De! hecho,!una! característica!del! "Embedding!Quantum!Simulator"! es! que! puede!ser! aplicado!a! modelos!cuánticos!generales,!con! un! pequeño!coste!en! términos!de! recursos!experimentales!adicionales.! En! concreto,!hemos!diseñado!mapeos!capaces!de!capturar!la!dinámica!de!medidas!de!entrelazamiento!y!para!medir!las! funciones!de!correlación!temporales!en!sistemas!bosónicos!y!fermiónicos.!En!el! caso!de!las!medidas!de!entrelazamiento,!hemos!proporcionado!una!propuesta!de! implementación!realista!en!plataformas!basadas!en!iones!atrapados,!teniendo!en! cuenta!del! ruido!típico!de! estos!sistemas.! A! su! vez,! el! protocolo!para! calcular!funciones!de!correlación!ha!sido!aplicado!a!la!computación!de!susceptibilidades!magnéticas,!y! en! general!al! calculo!de! funciones!de! respuesta!lineales!y! no! lineales.! Por! otra! parte,!hemos!propuesto!un! nuevo!algoritmo!para! simular!sistemas!disipativos!sin! necesidad!de! hacer!ingeniería!de! baños.! Esto! nos! ha! permitido!introducir!un! nuevo!concepto!de! simulador!cuántico,!donde!no! queremos!crear!el! estado!final!bajo! una! dinámica!dada,!sino! que! apuntamos!directamente!al! valor!esperado!de! un! observable.! Por! tanto!el! EQS! es! potencialmente!útil! en! varios!campos,!como! la! materia!condensada,!química!cuántica,!óptica!cuántica,!etc.!! Esta!Tesis!contiene!un!Capitulo!introductorio,!seguido!de!cuatro!Capítulos.!Cada!uno! contiene!ejemplos!de! aplicaciones!del! "Embedding!Quantum!Simulator".! Concluimos! con! una! sección!de! Apéndices,! que! contiene!las! demostraciones!técnicas!de!las!afirmaciones!de!la!parte!principal.! En!los!Capítulos!2!y!3,!hemos!estudiado!un!protocolo!para!simular!la!dinámica!de! una! clase!de! medidas!de! entrelazamiento!en! sistemas!de! qubits.! El! mapeo!propuesto!puede!ser! implementado!en! una! plataforma!cuántica!añadiendo!un! solo! qubit,!y! la! longitud!de! interacción!de! !la! dinámica!se! incrementa!en! uno.! Todo!el!sistema!tiene!que!interactuar!con!el!qubit!auxiliar,!y!eso!puede!dar!lugar!a! interacciones! no! locales.! Hemos! mostrado!como! resolver!este! problema,!mediante!la!definición!de!un!qubit!lógico!a!costa!de!eficiencia!espacial,!es!decir!del! numero!de! partículas.! Por! último,!generalizamos! los! resultados!al! caso! de! matrices!densidad,!discutiendo!un! algoritmo!híbrido!clásico@cuántico.! Aunque!hemos!tratado!el! caso! de! las! medidas!de! entrelazamiento,!es! importante!mencionar!que! el! protocolo!propuesto!es! capaz!de! simular!operadores!antilineales!generales,!que! no! se! pueden!medir!en! un! "one@to@one!quantum!simulator".! En! el! Capitulo!3,! hemos!propuesto!una! de! estas!ideas!implementación!en! plataformas!basadas!en! iones!atrapados.! Este! Capitulo!proporciona!también!un! protocolo!para! medir!un! producto!tensorial!arbitrario!de! matrices!de! Pauli,!mediante!su! codificación!en! un! observable!de! un! qubit!! auxiliar.!El!análisis!vale!en!general!para!plataformas!cuánticas!donde!puertas!de! Mølmer@Sørensen!pueden!implementarse! de! manera!eficiente,!como! es! el! caso! de!la!óptica!lineal.!! Una! futura!investigación! interesante!de! estos!resultados!sería!el! estudio!de! las! propiedades!del! mapeo!propuesto,!con! el! fin! de! aumentar!la! flexibilidad!de! un! simulador!cuántico.! De! hecho,!si! no! estamos!limitados!a! un! solo! qubit!auxiliar,!mapeos!arbitrarios!a! espacio!de! Hilbert! más! grandes!podrían!simular!otras!cantidades!no!físicamente!accesible!en!un!"one@to@one!quantum!simulator".!Otra!cuestión!es! cómo! el! entorno!afecta!a! los! resultados!finales!de! la! dinámica!unitaria!simulada.! Aquí,! el! "Embedding!Quantum!Simulator"! podría!conducir!a! una!mejora!de!la!estabilidad!frente!al!ruido.!Estas!preguntas!se!quedan!abiertas,!y!requieren!de!mas!análisis!para!se!bien!entendida.!! Un!experimento!de!primeros!principios!basado!en!estas!ideas!se!está!ejecutando!en! este! momento!en! el! grupo!del! Prof.! Andrew!White! de! la! Universidad!de! Queensland! (Brisbane,!Australia).! La! implementación!es! en! una! plataforma!de! fotónica,!y!consiste!en!realizar!medidas!de!entrelazamiento!entre!dos!qubits!que! evolucionan!bajo! una! dinámica!específica.! El! experimento!se! realiza!con! tres! qubits,!cada! uno! de! ellos!correspondiente!a! una! polarización!de! la! señal!óptica!que!se!propaga.!Todas!las!operaciones!se!implementan!con!dispositivos!estándar!de!óptica!cuántica,!por!ejemplo!divisores!de!haz,!rotaciones!de!qubits!y!puertas!NOT! controladas.! Resultados! preliminares!muestran!que! la! medida!de! entrelazamiento!elegida!posee!una! alta! fidelidad,!y! eso! puede!llevar!a! implementaciones!similares!en!otras!plataformas!basadas!en!iones!atrapados!o! circuitos!superconductores.! En! el! Capitulo!4,! hemos!desarrollado!un! protocolo!para! computar!funciones!de! correlación!temporal!de! operadores!generales!en! un! simulador!cuántico.! También! en! este! caso,!hemos!mapeado!a! una! ecuación!de! Schrödinger!en! un! espacio!de!Hilbert!de!dimensión!doble.!El!mapeo!tiene!la!misma!estructura!que! el!caso!de!los!operadores!antilineales,!discutido!en!los!Capitulos!2!y!3,!y!esto!es! un!indicio!que!otras!aplicaciones!no!triviales!son!posibles.!Hemos!discutido!cómo!aplicar!el! protocolo!en! los! casos!espinorial,!fermionico!y! bosónicos,!mostrando!que! el! método!es! eficiente!en! términos!de! tiempo!y! de! espacio.! El! algoritmo!propuesto!no! requiere!la! implementación!de! Hamiltonianos! controlados,!que! puede!ser! un! problema!complicado!para! la! mayoría!de! modelos!interesante!desde!el! punto!de! vista!físico.! Este! aspecto,!en! comparación!con! los! protocolos!anteriores,!conlleva!una!ganancia!enorme!a!nivel!experimental,!y!es!posible!que! pronto!veamos!experimentos!de! primeros!principios!donde!se! aplica!este! protocolo.!También!en!este!caso!necesitamos!que!el!sistema!interactúe!a!nivel!no! local!con!un!qubit!auxiliar.!Este!problema!se!puede!resolver!de!la!misma!manera!que!en!el!Capitulo!1,!codificando!el!qubit!auxiliar!en!una!serie!de!qubits!lógicos.! Como! aplicación! típica,!hemos!considerado!la! simulación!cuántica!de! susceptibilidades!magnéticas!y!de!funciones!de!respuesta!lineales!y!no@lineales.! Este! protocolo!es! suficientemente!simple!para! permitir!una! implementación!experimental!con!la!tecnología!actual!o!en!un!futuro!próximo,!dependiendo!de!la! plataforma.! En! el! Capitulo!5,! hemos!estudiado!un! protocolo!original!para! simular!procesos!disipativos!Mark
We introduce the concept of embedding quantum simulators, a paradigm allowing the efficient quantum computation of a class of bipartite and multipartite entanglement monotones. It consists in the suitable encoding of a simulated quantum dynamics in the enlarged Hilbert space of an embedding quantum simulator. In this manner, entanglement monotones are conveniently mapped onto physical observables, overcoming the necessity of full tomography and reducing drastically the experimental requirements. Furthermore, this method is directly applicable to pure states and, assisted by classical algorithms, to the mixed-state case. Finally, we expect that the proposed embedding framework paves the way for a general theory of enhanced one-to-one quantum simulators.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
Quantum simulation involves using a quantum system to study another quantum system. The proposal to simulate quantum physics using quantum mechanical devices, as outlined by Richard Feynman in 1982, stems from classical computers' challenges in simulating quantum systems. The pursuit of simulating complex quantum systems has led to the intersection of quantum mechanics and quantum computing. This offers new opportunities to understand and manipulate the quantum world. Central to describing quantum dynamics is the Hamiltonian operator H^\hat{H}H^, which governs the time evolution of physical systems and serves as the mathematical foundation for quantum simulations. This thesis explores the methodologies and advancements in simulating Hamiltonian operators on quantum computers, focusing on decomposing these operators into quantum gates and the efficiency gains over classical computational approaches. Initially, the thesis explains the fundamental theory and basics of quantum computing. Further it dives into the foundations of the Hamiltonian operator within quantum mechanics, highlighting its role in describing the dynamics of quantum systems. The complexity and high-dimensional nature of Hamiltonian matrices necessitate using quantum computers to simulate quantum phenomena accurately and efficiently. The process of simulating the Hamiltonian operator on a quantum computer involves a detailed examination of the strategies for decomposing the operator into a sequence of quantum gates. This decomposition is crucial for translating the abstract mathematical description of quantum systems into the physical operations of a quantum computer. By utilizing the principles of quantum mechanics, such as superposition and entanglement, quantum gates manipulate qubits to mimic the evolution of quantum states as the Hamiltonian operator dictates. Latter portions of the thesis are dedicated to comparing the efficiency of quantum simulations against traditional classical simulations and inspecting efficient quantum simulations. Quantum computers offer a polynomial or an exponential speedup for certain classes of problems, such as those involving highly entangled quantum states or requiring the simulation of complex quantum dynamics. This advantage is due to the quantum computer's ability to naturally represent and process quantum information - a task for which classical computers require exponential resources as the system size increases. The efficiency of simulating the Hamiltonian operator on a quantum computer is further enhanced through optimization techniques and algorithmic improvements. These include error mitigation strategies and the development of quantum algorithms tailored to specific types of Hamiltonian operators. The thesis presents a comprehensive analysis of these methods, demonstrating how they make quantum simulations more practical and accessible for scientific research and technological development. In conclusion this thesis is a literature review that examines the transformative potential of quantum simulations. By efficiently simulating the Hamiltonian operator on quantum computers researchers can explore quantum phenomena with precision, paving the way for breakthroughs in quantum physics, materials science, and beyond. The advancements in quantum computing technology and algorithmic approaches discussed here highlight the current capabilities and future explorations in the quantum realm.
En esta Tesis se presentan los resultados de implementaciones ópticas de algoritmoscuánticos, orientadas a protocolos de comunicación y procesamiento cuántico de la información. En particular, se estudiaron algoritmos cuánticos basados en entrelazamiento y se analizó la interacción del sistema cuántico en cuestión con distintos entornos ruidosos. Estas investigaciones se realizaron en forma mixta, tanto experimental como teórica, contemplando etapas de interacción del sistema con entornos controlados. Se realizaron experimentos de teleportación cuántica y distribución cuántica de claves (QKD), con el propósito de ganar experiencia en la manipulación y control de sistemas cuánticos. A partir de estos experimentos, se demostraron algoritmos eficientes y robustos ante entornos ruidosos que generan decoherencia en el recurso entrelazado. Para llevar a cabo estos experimentos, se desarrolló una fuente de pares de fotones entrelazados en polarización, basada en el proceso de conversión paramétrica descendente. La utilización de fotones como recurso físico permite la codificación de qubits en diversos grados de libertad de los mismos. En los experimentos realizados en esta Tesis, a partir de un único fotón se codificaron dos qubits en los grados de libertad de polarización y momento lineal del mismo. Para representar la interacción del sistema con un entorno local, se utilizaron los dos grados de libertad de polarización y camino para representar el sistema y el entorno, respectivamente. Estas interacciones se producen en arreglos experimentalesbasados en óptica lineal. Los arreglos experimentales diseñados e implementados permitieron un estudio versátil de los distintos protocolos propuestos, y un control sistemático de los entornos. Se estudiaron las condiciones para las cuales la dinámica del sistema era robusta frente al ruido y la acción del mismo sobre el desempeño de estos protocolos. En particular se realizó un estudio de la eficiencia del protocolo de teleportación bajo distintos tipos e intensidades de interacción con un entorno, pudiendo obtener condiciones para las cuales el sistema presenta baja sensibilidad a ciertos tipos de ruido. Asimismo, para el caso de distribución cuántica de claves, la interacción del sistema con el entorno nos permitiómodelar la acción de un espía y estudiar la seguridad de protocolos de QKD. La evolución de los sistemas cuánticos inducida por la interacción con entornos locales genera decoherecia, afectando el grado de entrelazamiento inicial y su utilización como recurso cuántico. Se estudiaron entonces distintas condiciones de ruido cuántico y su efecto sobre el entrelazamiento de un sistema, obteniendo una relación entre la "muerte del entrelazamiento" y canales efectivos capaces de romper completamente el entrelazamiento, para sistemas de dos qubits. Estos resultados permitieron anticipar qué estados pueden sufrir muerte del entrelazamiento o no para una dada evolución. Conocer de antemano el estado inicial y/o el canal cuántico que afecta el recurso entrelazado permite elegir demanera óptima los parámetros necesarios para un procesamiento cuántico eficiente de la información. La base de todos los experimentos realizados es una fuente de pares de fotones entrelazados y un arreglo óptico confiable y versátil basado en óptica lineal. El control sobre los estados fotónicos generados se realiza interferométricamente y en polarización. El dominio de estas técnicas de control de estados cuánticos es un resultado en sí mismo y el arreglo experimental desarrollado se presenta como una plataforma robusta para el estudio de la dinámica de procesos cuánticos. A modo de síntesis, entendemos que en el desarrollo de esta Tesis de Doctorado secumplieron los dos objetivos propuestos: por un lado estudiar la influencia de procesos de decoherencia e interacción con entornos en la eficiencia de algoritmos de información cuántica y por otro desarrollar herramientas ópticas para el estudio e implementación eficiente de estos algoritmos.
Como hilo conductor, la tesis trata la posibilidad de caracterizar y detectar propiedades no locales de gases atomicos ultrafrios. La principal motivacion para esta coleccion de propuestas surge del campo de la simulacion cuantica y la informacion cuantica. A continuacion vamos a listar los resultados principales de esta tesis, siguiendo aproximadamente el orden en que han sido estructurados los capitulos: Hemos revisado la forma en la que un modelo de tipo enlace fuerte con particulas masivas puede dar lugar a teorias de fermiones sin masa de Dirac en el limite de baja energia. En particular, se detalla la relacion entre todos los posibles terminos que pueden incluirse en el Hamiltoniano (sin interaccion) y los parametros microscopicos controlables. Las especificidades de la implementacion son explicadas de forma cuantitativa, con el objetivo de realizar una propuesta experimental completa.Por ultimo, se sugiere el empleo de varios protocolos de medida, segun las caracteristicas particulares del experimento que se quiera realizar, y que allanan el camino para la realizacion de simulaciones mas complejas en experimentos similares. Hemos demostrado que un aislante de Chern puede ser implementado y car- acterizado en un experimento de redes opticas. Un indice (o winding number, en ingles) que toma valores en los enteros puede ser medido a partir de imagenes en tiempo de vuelo del gas atomico, lo que resulta equivalente a la medida de su numero de Chern. Hemos comprobado numericamente que el protocolo de deteccion es robusto frente a las inhomogeneidades y temperaturas propias de estos experimentos con redes opticas, como cabe esperar de un invariante topologico entero. Hemos demostrado que el numero de Chern de un sistema 4x4 con invariancia traslacional puede ser descompuesto como la suma de las fases de Berry de dos particiones de tipo pseudoespin. La prueba requiere que dichas particiones no se encuentren maximamente entrelazadas en ningun punto en espacio de momentos -lo que supone una gran restriccion a la hora de seleccionar las biparticiones. En general, esta restriccion implica motivar la eleccion de particiones en base a alguna simetria del problema. Ademas, y basandonos en este resultado y el expuesto en el punto anterior, podemos concluir que el numero de Chern de un sistema compuesto tambien puede ser medido mediante imagenes en tiempo de vuelo; exponemos este resultado con un ejemplo paradigmatico: una propuesta para medir modos de Majorana en un experimento con redes opticas completamente detallado. Hemos construido un modelo de enlace fuerte que incluye el efecto de potenciales Abelianos y no Abelianos sobre fermiones masivos. Las medidas realizadas unicamente en el grado de libertad de espin son suficientes para construir un indice topologico que cambia de valor al cruzar una transicion de fase provocada por el potencial no Abeliano, como se demuestra numericamente. Reafirmando la intuicion de la que nos dota el resultado expuesto en el punto anterior, la cantidad de informacion extraida a partir de estas medidas parciales depende criticamente de la ruptura de simetrias relevantes del problema. Hemos demostrado que la fidelidad local a un estado grafo puede ser medida en un modelo sencillo de bits cuanticos- en una red atomica bipartita. Lo que es mas importante, esta fidelidad contituye un testigo de entrelazamiento genuinamente multipartito que puede ser computado sobre regiones arbitrarias, haciendo uso unicamente de dos conjuntos de medidas simultaneas. Hemos incluido evidencia numerica de que este protocolo funciona aun en presencia de diferentes fuentes de ruido propias de experimentos con redes opticas. Aunque las medidas son en si destructivas, el metodo es util tanto como forma de certificar entrelazamiento entre muchas particulas como para calibrar un experimento que tenga el proposito de construir estados grafo de gran tamano.
We present a comprehensive study of quantum simulation methods and quantum simulators for classical computers. We first study an exhaustive set of 150+ simulators and quantum libraries. Then, we short-list the simulators that are actively maintained and enable simulation of quantum algorithms for more than 10 qubits. As a result, we realize that most efficient and actively maintained simulators have been developed after 2010. We also provide a taxonomy of the most important simulation methods, namely Schrodinger-based, Feynman path integrals, Heisenberg-based, and hybrid methods. We observe that most simulators fall in the category of Schrodinger-based approaches. However, there are a few efficient simulators belonging to other categories. We also make note that quantum frameworks form their own class of software tools that provide more flexibility for algorithm designers with a choice of simulators/simulation method. Another contribution of this study includes the use and classification of optimization methods used in a variety of simulators. We observe that some state-of-the-art simulators utilize a combination of software and hardware optimization techniques to scale up the simulation of quantum circuits. We summarize this study by providing a roadmap for future research that can further enhance the use of quantum simulators in education and research.