La idea principal de esta tesis es describir en forma compacta los principios físicos involucrados en el cálculo de propiedades termodinámicas, por ejemplo la energía libre, en sistemas cuánticos a través del formalismo de las integrales de camino de Feynman aplicado a la Dinámica Molecular Ab Initio. Un método ampliamente usado en el estudio de propiedades electrónicas de sistemas condensados. Para este fin esta tesis consiste de cuatro capítulos: \n \nEl primero trata los fundamentos de la dinámica molecular ab initio. La cual yace sobre la aproximación adiabática de Born-Oppenheimer. Se presenta la Teoría del Funcional de la Densidad como uno de los métodos optimizados para el cálculo de las fuerzas (de carácter electrónico) sobre los núcleos atómicos en el estado fundamental (T = 0). \n \nEl segundo discute el formalismo de integrales de camino de Feynman. El cual abre la posibilidad de incluir efectos cuánticos a temperatura finita (T > 0). Se describe el isomorfismo clásico de la función de partición cuántica a través de las integrales de camino. Por último, discutimos la implementacion numérica de este formalismo y sus limitaciones. \n \nEl tercero trata una de las limitaciones de la dinámica molecular ab initio: los llamados eventos raros. Se muestra como un tratamiento clásico del problema con ayuda de las integrales de camino consigue mejorar el muestreo de eventos y asi facilita el cálculo de la energía libre entre estados (meta)estables. \n \nEn el cuarto se aplica el formalismo descrito en el capítulo anterior para la reconstrucción cuántica de la energía libre en el caso de la tranferencia de un protón en una molécula de malonaldehido. \n \nPor último, presentamos las conclusiones de esta tesis.
La idea principal de esta tesis es describir en forma compacta los principios físicos involucrados en el cálculo de propiedades termodinámicas, por ejemplo la energía libre, en sistemas cuánticos a través del formalismo de las integrales de camino de Feynman aplicado a la Dinámica Molecular Ab Initio. Un método ampliamente usado en el estudio de propiedades electrónicas de sistemas condensados. Para este fin esta tesis consiste de cuatro capítulos: \n \nEl primero trata los fundamentos de la dinámica molecular ab initio. La cual yace sobre la aproximación adiabática de Born-Oppenheimer. Se presenta la Teoría del Funcional de la Densidad como uno de los métodos optimizados para el cálculo de las fuerzas (de carácter electrónico) sobre los núcleos atómicos en el estado fundamental (T = 0). \n \nEl segundo discute el formalismo de integrales de camino de Feynman. El cual abre la posibilidad de incluir efectos cuánticos a temperatura finita (T > 0). Se describe el isomorfismo clásico de la función de partición cuántica a través de las integrales de camino. Por último, discutimos la implementacion numérica de este formalismo y sus limitaciones. \n \nEl tercero trata una de las limitaciones de la dinámica molecular ab initio: los llamados eventos raros. Se muestra como un tratamiento clásico del problema con ayuda de las integrales de camino consigue mejorar el muestreo de eventos y asi facilita el cálculo de la energía libre entre estados (meta)estables. \n \nEn el cuarto se aplica el formalismo descrito en el capítulo anterior para la reconstrucción cuántica de la energía libre en el caso de la tranferencia de un protón en una molécula de malonaldehido. \n \nPor último, presentamos las conclusiones de esta tesis.
En esta tesis desarrollamos metodos de teoria de campos para sistemas con una densidad
de materia cuantica no trivial. Esto requiere nuevas tecnicas que permitan comprender
lo que sucede cuando el vacio trivial de la teoria relativista se reemplaza por
un estado no-relativista.
La primera parte de la tesis se enfoca en obtener de manera sistematica la teoria
de campos no-relativista. Para esto, partimos de la teoria relativista y deducimos una
teoria efectiva valida para escalas de energia mucho menores que las masas de los campos.
Se estudia primero el caso bosonico, donde se obtiene una teoria no-relativista con
invariancia de escala tipo Lifshitz. A continuacion, se consideran sistemas fermionicos.
Desarrollamos un nuevo metodo, basado en el uso de proyectores de energia, que nos
permite obtener la teoria efectiva en D-dimensiones de espacio-tiempo. Como una aplicacion importante, se consideran los efectos de campos externos electromagneticos y
gravitatorios sobre teorias no-relativistas, y se determinan las interacciones que estos
producen.
La segunda parte de la tesis esta dedicada a sistemas fermionicos a densidad finita.
Primero nos enfocamos en el caso de fermiones libres, y luego discutimos teorias interactuantes.
En sistemas libres, generalizamos el metodo de los proyectores para incorporar
la densidad finita, y asi deducimos una teoria efectiva valida cerca de la superficie de
Fermi. Este formalismo reproduce la teoria de Landau de liquidos de Fermi.
Finalmente, nos enfocaremos en sistemas interactuantes. Con el objetivo de modelar
sistemas electronicos fuertemente correlacionados, como los superconductores de
altas temperaturas, estudiamos una superficie de Fermi acoplada a un boson critico.
Este boson aparece naturalmente en materia condensada como un parametro de orden;
en fisica de altas energias da lugar a un modelo efectivo de cromodinamica cuantica
a densidad finita. Analizamos las correcciones cuanticas a un lazo, que nos permiten
llegar a un non-Fermi liquid, similar a lo que se observa en puntos critico cuanticos.
A continuacion, discutimos los efectos de introducir una masa bosonica; esto nos permitira alejarnos del punto critico y estudiar otras regiones del diagrama de fases de la
teoria.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
La tesis se divide en siete capitulos. El primer capitulo es introductorio y en el se explica como, a partir de la solucion de la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo unidimensional (ESDT1D), se ha calculado numericamente la funcion de onda en la representacion de posiciones, en la representacion de momentos y en el espacio de las fases cuantico utilizando la distribucion de Wigner y la distribucion de Husimi. A partir de la ESDT1D y de la formulacion de Madelung-de Broglie-Bohm (MdBB) de la Mecanica Cuantica, se explica tambien como se ha calculado numericamente el Potencial Total (PT), la accion cuantica y las trayectorias cuanticas. Este primer capitulo muestra tambien la importancia de estudiar los sistemas cuanticos en las distintas representaciones. Como los procesos estudiados pertenecen a ladinamica cuantica, el tiempo es un factor determinante a lahora de comprender los procesos cuanticos por lo que tambien se ha incluido su definicion dentro de este capitulo. Finalmente en la introduccion se muestra una aplicacion al estudio del efecto tunel y del efecto Hartman utilizando las herramientas numericas desarrolladas. El capitulo dos esta dedicado al estudio de las resonancias en una doble barrera de potencial cualdrada, utilizando el PT de manera analoga a los diagramas de energia potencial utilizados en mecanica clasica y la representacion de posiciones. En este capitulo se demuestra que las resonancias se manifiestan como una radiacion hacia atra en el PT y que el efecto tunel y el antitunel son los mecanismos responsables de que esto suceda. En el capitulo tres, se muestra la influencia que tiene en la transmision cuantica la distancia entre el paquete gaussiano inicial y la barrera, para ciertas condiciones iniciales del problema. La transmision cuantica aumenta tanto mas cerca se encuentran el paquete gaussiano inicial y la barrera clasica. El capitulo cuatro se centra en el calculo de las trayectorias cuanticas utilizando un algoritmo sencillo desarrollado en nuestro grupo. Se muestra ademas una aplicacion a una barrera de potencial cuadrada. El capitulo cinco se dedica al estudio del efecto Hartman utilizando la representacion de posiciones y la representacion de momentos. En el capitulo se muestra que la barrera de potencial cuadrada actua como filtro de los momentos bajos del paquete gaussiano. El capitulo seis esta dedicado al estudio del origen de las resonancias en una colision de un paquete gaussiano con una barrera de potencial clasica. En el estudio se demuestra que el origen de las oscilaciones en el PT esta en la pendiente de la barrera de potencial clasica. El ultimo capitulo muestra como se ha calculado la dinamica cuantica en el espacio de las fases cuantico utilizando la funcion de distribucion de Wigner y la de Husimi. Estas funciones de distribucion permitiran estudiar la dinamica cuantica al estilo clasico utilizando el espacio de fases cuantico y el PT.
Esta tesis es una contribucion multidisciplinar a la teoria de funciones especiales (ver Parte I: Funciones especiales y teoria de la informacion), a la teoria de la informacion de los sistemas cuanticos (ver Parte II: Mecanica cuantica y teoria de la informacion, Relaciones de incertidumbre), y a la fisica molecular (ver Parte III: Dimeros alcalinos en campos electricos).
En la Parte I, que esta conformada por tres capitulos, se investigan varias medidas de informacion de las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado. Entre las citadas soluciones se encuentran un gran numero de funciones especiales de la matematica aplicada y de la fisica matematica, que aparecen de forma natural en la formulacion matematica de una gran cantidad de problemas fisicos. Se calcula la informacion de Fisher y las entropias de Shannon, Renyi y Tsallis, que cuantifican de forma complementaria el esparcimiento de estas funciones de un modo mas apropiado que la varianza. Ademas, se consideran otras medidas de informacion, como los planos y los productos de informacion, que combinan dos de las medidas de esparcimiento ya citadas.
El Capitulo 1 introduce los elementos fundamentales de la teoria de la informacion que se usaran en las dos primeras partes: las medidas teoricas de informacion, tales como e.g. la entropia de Shannon, y la informacion de Fisher. Ademas, se mencionan algunas de sus propiedades y, en particular, las relaciones de incertidumbre que satisfacen. El Capitulo 2 aborda el calculo analitico de la informacion de Fisher de las densidades de probabilidad, asociadas a las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado, a partir de los valores esperados de los coeficientes de dichas ecuaciones diferenciales. Este estudio se hace de forma general para cualquier ecuacion y posteriormente se presentan casos concretos con el fin de ilustrar esta tecnica. El Capitulo 3 presenta dos nuevas medidas de informacion: el plano de Cramer-Rao, en el cual se representan la informacion de Fisher y la varianza, y el producto de Cramer-Rao, consistente en el producto de estas dos medidas de esparcimiento. Las tres familias de polinomios clasicas, i.e. Hermite, Laguerre y Jacobi, se estudian en el marco de estas nuevas medidas de informacion.
La Parte II de la Tesis, que consta de los capitulos 4 al 6, aborda el calculo de las distintas medidas de informacion de sistemas mecano-cuanticos realistas, encontrandose nuevas relaciones de incertidumbre y cotas a magnitudes fisicas relevantes como la propia informacion de Fisher o la energia cinetica. Ademas, en el segundo y tercer capitulo de esta parte se hace hincapie en los sistemas sometidos a potenciales centrales, entre los que se incluyen todos los sistemas de dos cuerpos cuya interaccion depende unicamente de la distancia entre los mismos, como es el caso del atomo hidrogenoide; o sistemas prototipicos clave en el desarrollo de la mecanica cuantica y con multitud de aplicaciones, como es el oscilador armonico.
El Capitulo 4 plantea el calculo de la entropia de Shannon y la informacion de Fisher de la densidad de probabilidad mecano-cuantica de una particula en un potencial central lineal monodimensional. Mientras la informacion de Fisher se calcula de forma analitica para todos los estados del sistema, para la entropia de Shannon se halla su comportamiento asintotico en el limite de los estados altamente excitados. En el Capitulo 5 se aborda el problema general del calculo de la informacion de Fisher para sistemas centrales en espacios de dimensionalidad arbitraria. Se encuentran expresiones cerradas de la informacion de Fisher en los espacios de posiciones y momentos en terminos de los valores esperados radiales de la densidad de probabilidad y se halla una relacion de incertidumbre basada en estas medidas de informacion. Esta relacion es comparable a la relacion de incertidumbre entropica de Bialynicki-Birula y Mycielski basada en la entropia de Shannon, y a la relacion de incertidumbre de Heisenberg basada en la varianza, la cual, ademas, se consigue mejorar para estos sistemas. En el Capitulo 6 se continua el estudio de los sistemas centrales de dimensionalidad arbitraria, centrandose en la acotacion de la energia cinetica de sistemas monoparticulares por medio de algunos valores esperados radiales de posicion. Finalmente, habida cuenta de la reciprocidad entre los espacios de posiciones y momentos, se pueden definir cotas similares para la susceptibilidad diamagnetica a partir de las cotas a la energia cinetica.
En la tercera y ultima parte de esta tesis, que consta de los capitulos 7 y 8, se estudia de la dinamica rotacional de las moleculas diatomicas heteronucleares bajo la accion de campos electricos externos homogeneos y variables con el tiempo. En los ultimos anos, el analisis teorico y experimental de moleculas ultrafrias, tanto de sus propiedades como de su produccion, se ha convertido en una piedra angular de la moderna fisica molecular. El tratamiento de estos sistemas en presencia de campos externos requiere una atencion especial. Estos campos permiten atrapar, enfriar y manipular el sistema, modificando simultaneamente de forma significativa su estructura interna. Este trabajo es una contribucion al analisis teorico del control de los movimientos rotacional y vibracional por medio de campos electricos dependientes del tiempo.
El Capitulo 7 es meramente descriptivo e incluye las herramientas teorico-computacionales necesarias para este trabajo. En el se deriva el Hamiltoniano que gobierna el movimiento rovibracional de un dimero polar en presencia de dichos campos electricos, y se indican las aproximaciones realizadas; en particular la de Born-Oppenheimer, que permite separar el movimiento electronico del nuclear. Ademas, se exponen las aproximaciones del rotador rigido y el rotador efectivo al Hamiltoniano que describen la accion del campo en la dinamica rotacional de aquellos sistemas que se pueden considerar como rigidos. Se concluye describiendo brevemente la tecnica computacional hibrida empleada para llevar a cabo la evolucion temporal, que combina el metodo de division del operador evolucion o metodo del split-operator, la transformada de Fourier rapida, y las representaciones de variable discreta y de base finita.
En el Capitulo 8 se discuten y analizan los resultados obtenidos para la molecula de LiCs sometida a una combinacion de campos electricos dependientes del tiempo. En primer lugar, el campo solo tiene componente en el eje z del sistema de referencia del laboratorio, y se lleva a cabo un encendido y apagado exponencial del mismo. Se realiza un detallado analisis de la dinamica rotacional en los regimenes de intensidad constante y post-pulso, al variar los tiempos caracteristicos de este proceso. En particular, se ha demostrado que es posible predecir de forma robusta el numero de estados pendulares o de ondas parciales necesarios para describir correctamente la dinamica rotacional en estos dos regimenes. Sin embargo, una vez que el campo ha sido apagado, la contribucion especifica de cada estado rotacional es muy sensible a los tiempos de encendido y apagado. El paquete de ondas final muestra una gran variedad de fenomenos de localizacion y orientacion molecular. Estos efectos son periodicos en el tiempo, y su periodo es una fraccion del periodo rotacional molecular.
En segundo lugar, tras encender la componente z del campo, este se rota hacia el eje x manteniendo siempre la intensidad constante, y finalmente se apaga. Se ha investigado la variacion de la dinamica rotacional con la duracion de la rotacion, centrando nuestra atencion en la posibilidad de transferir poblacion a estados con numero cuantico magnetico no nulo. Se ha mostrado que la contribucion de esos niveles es significativa solo si la rotacion es no-adiabatica, i.e. su duracion ha de ser inferior al periodo rotacional de la molecula. De hecho el regimen adiabatico se alcanza para giros de duracion igual o superior a un periodo rotacional. Finalmente, se ha analizado tambien el efecto de la rotacion del campo sobre los fenomenos de localizacion y orientacion del paquete de ondas final.
El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sobre las transiciones de fase cuánticas que se presentan en el modelo de Rabi, un modelo de interacción radiación-materia entre un átomo de dos niveles y un campo bosónico. Presentaremos y analizaremos su hamiltoniano para, a partir del mismo, caracterizar las transiciones de fase cuánticas que afectan tanto al estado fundamental como a los estados excitados del sistema. Primero analizaremos la transición en el estado fundamental, realizando el estudio cuántico mediante cálculos numéricos y luego haciendo un estudio analítico dentro de una aproximación semiclásica. Ello nos permitirá comparar los resultados y comprobar la validez de esta aproximación. Después, analizaremos la transición en los estados excitados, comparando de nuevo el estudio analítico con los cálculos numéricos, exactos. Veremos que la transición de fase en el estado fundamental se debe al cambio del potencial que observa el sistema, causando la rotura de la simetría de dicho estado. Por otro lado, comprobaremos que la transición en los estados excitados solo puede ocurrir cuando ya se ha dado la transición en el estado fundamental, y veremos que se caracteriza por la degeneración en niveles de energía inferiores a cierto valor crítico. En todos los casos, comprobaremos que los cálculos semiclásicos y los exactos coinciden cuando el cociente entre las energías que caracterizan al átomo y al campo bosónico tiene un valor grande comparado con 1. Para conseguirlo, hemos desarrollado desde cero diversos códigos MATLAB con el objetivo de poder realizar los cálculos necesarios para caracterizar las transiciones. En concreto, para estudiar la transición de fase en el estado fundamental, hemos desarrollado un código que permite obtener la energía del estado fundamental del sistema y otro que permite calcular, para dicho estado, el valor esperado del número de fotones y de σz, observables que se discutirán en el texto. También hemos creado un código que muestra la forma del potencial que afecta al sistema en su estado fundamental. Del mismo modo, al estudiar la transición en los estados excitados, hemos creado un código que obtiene todos los niveles de energía del sistema, con el objetivo de calcular numéricamente la densidad de estados. Otro código permite comparar este cálculo con la expresión analítica que obtendremos de la densidad de estados, y otro último calcula el valor de σz en todos los estados del sistema. Por último, dos códigos nos permitirán crear imágenes que sirvan para ilustrar lo que sucede en las transiciones; el primero de ellos representa la forma del potencial que afecta al sistema en diversas situaciones; el segundo estudia la variación de los diez primeros niveles energéticos del sistema. Todo esto se desarrolla en el trabajo. Los códigos pueden consultarse en el apéndice.