Das Ziel dieser Note ist eine Neuformulierung und Verallgemeinerung grundlegender Untersuchungen von Bach [1, 2] zum Begriff der Wahrscheinlichkeit bei Boltzmann [3] in der Sprache der modernen Punktprozesstheorie. Die Leitidee ist dabei ihre Einordnung unter die Krickebergsche Zerlegungstheorie invarianter Masse [6]. Diese macht Bachs Überlegungen transparenter und führtüber diese hinaus. Gleichzeitig wird die konzeptionelle Überlegenheit der Punktprozessformulierung für die Beschreibung quantenmechanischer Modelle deutlich.
Das Ziel dieser Note ist eine Neuformulierung und Verallgemeinerung grundlegender Untersuchungen von Bach [1, 2] zum Begriff der Wahrscheinlichkeit bei Boltzmann [3] in der Sprache der modernen Punktprozesstheorie. Die Leitidee ist dabei ihre Einordnung unter die Krickebergsche Zerlegungstheorie invarianter Masse [6]. Diese macht Bachs Überlegungen transparenter und führtüber diese hinaus. Gleichzeitig wird die konzeptionelle Überlegenheit der Punktprozessformulierung für die Beschreibung quantenmechanischer Modelle deutlich.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern
Zusammenfassung Über die Struktur von verschränkten ZuständenIn der vorliegenden Arbeit werden mehrfach zusammengesetzte quantenmechanische Systeme auf ihre Separabilität hin untersucht.Nach einer kurzen Einleitung wird auf die "beste separable Approximation" (im weiterem Verlauf BSA [1]) eingegangen.Bei der BSA handelt es sich um eine optimale Zerlegung von quantenmechanischen Zuständen in sogenannte separable und verschränkte Anteile.Die Existenz solch einer BSA-Zerlegung wird dabei durch das BSA-Theorem [1] bewiesen.Auch die Eindeutigkeit solch einer BSA-Zerlegung wird gezeigt.Ebenfalls wird die analytische Beschreibung der Menge aller separablen Dichtematrizen präsentiert, welche die Eigenschaft besitzen, daß ihre Differenz zu einem gegebenen quantenmechanischen Zustand positiv definit ist.Aufbauend auf diese Untersuchungen wird die BSA-Zerlegung von C 2 C 2 -Zuständen betrachtet.Dabei wird eine Ungleichung geliefert, die die Aussage darüber macht, wann die BSA-Zerlegung unter gegebenen Voraussetzungen keinen maximal verschränkten Zustand als Rest enthält.Als natürliche Fortsetzungen der bisherigen BSA-Untersuchungen ergab sich eine Verallgemeinerung dieser Theorie auf PPT-Zustände, d.h.Zustände, welche nach einer sogenannten partiellen Transposition auch weiterhin Zustände bleiben.Diese verallgemeinerte Theorie wurde PPT-BSA-Theorie genannt und lieferte die Möglichkeit der Konstruktion von Witness-Operatoren bzw.Bellschen Ungleichungen für jeden verschränkten Zustand.Ebenfalls ergab sich aus den Untersuchungen ein neues Verschränktheitsmaß.Die mathematischen Methoden, die bis zur PPT-BSA-Theorie entwickelt wurden, erwiesen sich besonders bei der Untersuchung der Separabilität von quantenmechanischen C 2 C N -und C 2 C 2 C N -Zuständen als erforderlich.
Nachdem wir uns einige wesentliche Züge der klassischen Beschreibung des Lichts in die Erinnerung zurückgerufen haben, wollen wir die für unsere Thematik wichtigsten neuen Aspekte zur Sprache bringen, die sich aus der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes ergeben. Es erscheint angebracht, zuvor einen fundamentalen Unterschied zwischen klassischer und quantenmechanischer Naturbeschreibung deutlich zu machen, der uns bei der späteren Diskussion von Experimenten immer wieder begegnen und Kopfschmerzen verursachen wird. Es handelt sich um die physikalische Bedeutung dessen, was man als Unschärfe bezeichnet.
In stark korrelierte Elektronensystemen lassen sich eindrucksvolle Phänomene der Physik der kondensierten Materie beobachten: Hier treten neben dem berühmten Mott-Hubbard Übergang von einem Metall zu einem Isolator auch klassische Phasenübergänge wie Magnetismus, Ladungsordnung und Supraleitung auf. Darüber hinaus zeigen diese Systeme Quantenphasenübergänge, die Gegenstand intensiver modernster Forschung sind. Was diese Übergänge so bemerkenswert macht, ist die Tatsache, dass sie im Gegensatz zu klassischen Übergängen am absoluten Temperaturnullpunkt stattfinden. Dies macht Quantenphasenübergänge zum Einen sehr faszinierend, zum Anderen theoretisch sehr schwer zu beschreiben: Bis dato existiert keine umfassende Theorie der Quantenkritikalität. Das Ziel dieser Dissertation ist die theoretische Beschreibung von klassischen und Quantenphasenübergängen durch die Anwendung von hochaktuellen quantenfeldtheoretischen Methoden auf das fundamentalste Modell für elektronische Korrelationen, das Hubbard-Modell. Die hierfür verwendeten Methoden sind die dynamische Molekularfeldtheorie (DMFT), welche in der Lage ist, lokale Korrelationen zu beschreiben, aber räumliche Korrelationen vernachlässigt, und die dynamische Vertexapproximation (D-A), welche zusätzlich räumliche Fluktuationen auf beliebigen Längenskalen berücksichtigt. Zuerst werden Vorboten von Phasenübergängen näher untersucht. Beim Mott-Hubbard Übergang werden diese durch divergierende irreduzible Vertexfunktionen und bei klassischen Phasenübergängen durch starke Ladungs-, Spin- oder Paarfluktuationen repräsentiert. Danach wird der Einfluss von Dimensionalität und Nähe zu Phasenübergängen auf das Spektrum des Systems untersucht. Spezifische Relationen für die Selbstenergie in verschiedenen Dimensionen werden herausgearbeitet. Im nächsten Schritt wird das Schicksal des Mott-Hubbard Metall-Isolator-Übergangs in zwei Dimensionen bestimmt, wo die DMFT zu dessen Beschreibung nicht ausreicht, weil hier räumliche Korrelationen sehr stark werden. Schließlich wird das magnetische Phasendiagramm für das lochdotierte Hubbard-Modell in drei Dimensionen berechnet und analysiert. Die D-A ist hierfür prädestiniert, weil sie die simultane Behandlung von zeitlichen und räumlichen Korrelationen erlaubt, was insbesondere wichtig für die Beschreibung eines quantenkritischen Punktes bei starker Wechselwirkung ist. Die (quanten)kritischen Exponenten der magnetischen Suszeptibilität und Korrelationslänge werden mittels der D-A bestimmt. Diese stehen im Widerspruch zur konventionellen Hertz-Millis-Moriya Theorie.
Das Ziel der theoretischen Physik ist die Aufstellung eines einheitlichen Axiomensystems mit dessen Symbolen und Verknüpfungsoperationen alle physikalischen Naturvorgänge mathematisch beschrieben und die zugeordneten Observablen berechnet werden können. Zur Annäherung an dieses Ziel bedient man sich Folgen von immer umfassenderen und zugleich differenzierteren Welt- bzw. Materiemodellen, die die Naturvorgänge approximativ beschreiben und in bestimmten Situationen ungültig werden. In der zeitlichen Entwicklung kennzeichnen diese Situationen den experimenteEen und theoretischen Zustand der Physik. Abgesehen von kosmologischen Aspekten wird gegenwärtig die Grenzsituation durch die subatomare Struktur und die Wechselwirkung von Elementarteilchen gegeben. Durch die Umwandlungsprozesse von Elementarteilchen und die theoretische Energie- Massenäquivalenz wird eine Beschreibung durch ein einheitliches Materiemodell nahegelegt. Da dieses auch die Niederenergiephänomene enthalten muß, so muß in ihm die diese Phänomene beschreibende konventionelle Quantentheorie enthalten sein. Dies bedeutet aber nicht, daß die mathematische Struktur dieses Modells mit jener der konventionellen Quantentheorie identisch sein muß. Vielmehr wird man erwarten müssen, daß die konventionelle Quantentheorie einen Spezialfall im Sinne eines Korrespondenzprinzips darstellt, wie auf einer Stufe tiefer die klassische Mechanik korrespondenzmäßig in der Quantenmechanik enthalten ist. Es liegt daher nahe, einen mathematischen Formalismus zu suchen, der die konventionelle Quantentheorie enthält, aber so flexibel ist, daß er auch Abänderungen zuläßt. Dieser Formalismus ist die funktionale Quantentheorie. Ihre Formulierung und Begründung soll im folgenden kurz dargestellt werden.