Tensor networks in strongly correlated matter
Valentin Stauber
Diese Dissertation beschaftigt sich mit der Frage, inwiefern es moglich ist, Aussagen uber glo-
bale Eigenschaften eines komplexen Vielteilchensystems im thermodynamischen Limes aus der
Sicht einer lokalen Beschreibung seines aktuellen Zustandes zu treffen. Im Besonderen werden
Tensornetzwerkdarstellungen von klassischen oder Quantenzustanden verwendet, um ein- oder
zweidimensionale, stark korrelierte Vielteilchensysteme im Gleich- oder Ungleichgewicht zu
untersuchen. Dabei wird der Fokus auf Matrixproduktzustande (MPS) gelegt, einer speziell fur
eindimensionale Quantengitter geeignete Variante von Tensornetzwerken. Die lokalen Tensoren
als Bausteine solch einer Beschreibung werden verwendet, um lokale Objekte oder Grosen zu
konstruieren, anhand derer Aussagen uber generelle globale Eigenschaften des Systems getrof-
fen werden konnen.
Als gute Grundlage solcher Untersuchungen wird zunachst ein neuartiger und effizienter
Algorithmus fur die Optimierung einer MPS-Grundzustandsnaherung fur stark korrelierte ein-
dimensionale Spinketten im thermodynamischen Limes vorgestellt. Es wird gezeigt, dass dieser
Algorithmus bestehende Methoden in puncto Geschwindigkeit und Genauigkeit der Ergebnisse
bei weitem ubertrifft.
Mit dieser Methode errechnete Grundzustandsnaherungen werden nun verwendet, um die
aus den elementaren Tensoren konstruierte MPS-Transfermatrix zu untersuchen. Eine Betrach-
tung ihres Eigenspektrums zeigt verbluffende Verbindungen zwischen statischen Korrelations-
funktionen im Grundzustand und elementaren Anregungen eines Systems. Im Speziellen kon-
nen die Impulse und die Grose der Minima in der Energiedispersion der elementaren Anre-
gungen sehr genau uber die dominanten Eigenwerte der Transfermatrix bestimmt werden. Man
kann daher Informationen uber angeregte Zustande eines Systems blos aus einer lokalen Dar-
stellung des Grundzustandes gewinnen.
Des weiteren wird gezeigt, dass sich die Existenz von symmetriebrechenden Phasenuber-
gangen in einem bestimmten physikalischen System auf die Geometrie der konvexen Menge
aller moglichen reduzierten Dichtematrizen in diesem System zuruckfuhren lasst. Nichtanalyti-
zitaten auf der Oberflache solcher Mengen signalisieren das Auftreten von Symmetriebrechung
und eines zugehorigen (lokalen) Ordnungsparameters. Die Frage, ob ein System Symmetriebre-
chung zeigt, lasst sich daher uber eine Menge von lokalen Objekten (namlich den reduzierten
Dichtematrizen) beantworten.
Zu guter Letzt wird eine Variante des neu entwickelten Grundzustandsalgorithmus – ad-
aptiert fur die Berechnung reeller Zeitentwicklung – dazu verwendet, um dynamische Phasen-
ubergange in Spinketten mit langreichweitigen Wechselwirkungen im Rahmen eines globalen
Quenches zu untersuchen. Solche Phasenubergange zeigen charakteristische Nichtanalytizita-
ten in der Zeit in der Form von Zacken in der globalen Uberlagerung von zeitentwickeltem und
Ausgangszustand. Es wird gezeigt, dass diese Zacken von Kreuzungen im Spektrum der ge-
mischten Transfermatrix, welche aus den elementaren Tensoren einer MPS-Beschreibung bei-
der Zustande besteht, herruhren. Es ist also wiederholt ein Attribut eines lokalen Objektes, das
Zugang zu einer globalen Grose, namlich der Uberlappung zweier Quantenzustande, gewahrt.
•Jan 1, 2017•0 citations