Annales de l Institut Henri Poincaré Probabilités et Statistiques

Markov chains approximation of jump–diffusion stochastic master equations

Clément Pellegrini

Published Nov 1, 2010• 38 citations

Abstract

Les trajectoires quantiques sont des solutions d’équations différentielles stochastiques décrivant des phénomènes aléatoires associés aux prinicpes de mesure (quantique) des systèmes quantiques ouverts. Ces équations, également appelées équations de Belavkin ou équations maîtresses stochastiques sont habituellement de deux types: soit diffusif soit de type saut. Dans cet article, nous considérons des modèles plus avancés où des équations de type saut-diffusion apparaissent. Ces équations sont obtenues comme solutions de problèmes de martingales. Ces problèmes de martingales sont obtenus comme limites continus (en temps) à partir de chaînes de Markov classiques décrivant des trajectoires quantiques pour des modèles à temps discret. Les résultats de cet article généralisent ceux de [Ann. Probab. 36 (2008) 2332–2353] et [Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrödinger equation: The Poisson case (2007)]. Ici, les techniques probabilistes utilisés sont complétement différentes afin de pouvoir mixer les deux types d’évolutions: diffusives et poissoniennes.

DOI: 10.1214/09-aihp330

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Systèmes quantiques ouverts et processus stochastiques quantiques De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.

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Sep 25, 20190 citations