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European Journal of Physics

Harmonic oscillator integrals by operator methods, a simple unified approach

Wolfgang Witschel

Published Nov 1, 1996• 5 citations
Publisher

Abstract

One- and two-centre matrix elements for a wide class of operators in an harmonic oscillator basis are derived by operator methods. The advantage of the method is that all calculations are reduced to the well known Hausdorff transform. The elementary operator steps in the harmonic oscillator occupation number representation make this technique suitable for introductory quantum mechanics classes. Zusammenfassung. Fur eine Vielzahl von Operatoren wurden Ein- und Zweizentren-Matrixelemente des harmonischen Oszillators mit Operatormethoden abgeleitet. Die elementaren Operatorschritte in der Besetzungszahldarstellung wurden auf die bekannte Hausdorff-Formel zuruckgefuhrt.

DOI
10.1088/0143-0807/17/6/010

Related papers

On a Unified Theory of Harmonic Oscillator Two-Centre Integrals

W . Wltschel

Abstract Occupation number representation and operator-technique are used in the calculation of harmonic oscillator matrixelements for one and two centres and for equal and different frequencies. The potentials treated are generalized Gauss-potentials of the form p̑k x̑l exp{a x̑2 }, x̑k p̑l exp{a p̑2 }, and p̑k x̑l exp{a x̑ p̑} which by application of an operator identity could be reduced to the same form. Applications in nuclear and molecular physics, in molecular spectroscopy and in quantum chemistry are discussed briefly.

Zeitschrift für Naturforschung A•Feb 1, 1972•2 citations

Semiclassical quantization of integrable and chaotic billiard systems by harmonic inversion

Kirsten Weibert

Die Gutzwiller-Spurformel für klassisch chaotische Systeme und die Berry-Tabor-Formel für integrable Systeme geben eine semiklassische Näherung für die quantenmechanische Zustandsdichte an, die die Form einer Summe über alle periodischen Bahnen des Systems annimmt. Da diese Summe jedoch in der Regel nicht konvergiert, ist eine direkte Bestimmung der Eigenwerte aus den Spurformeln nicht möglich. Umgehen lässt sich dieses Problem mit Hilfe der harmonischen Inversion, einer der Signaltheorie entlehnten Methode, die im Gegensatz zu früheren Verfahren keine speziellen Eigenschaften des Systems voraussetzt. Die harmonische Inversion lässt sich einerseits nutzen, um aus den Spurformeln die quantenmechanischen Eigenwerte zu gewinnen. Das Problem der semiklassischen Quantisierung wird dabei zurückgeführt auf die Analyse von semiklassischen Signalen. Umgekehrt können aus quantenmechanischen Spektren die Beiträge der einzelnen periodischen Bahnen bestimmt werden. In dieser Arbeit werden zwei neuartige Erweiterungen der Methode der harmonischen Inversion eingeführt. Einerseits werden - sowohl bei der semiklassischen Quantisierung als auch bei der Analyse von Quantenspektren - Korrekturen höherer Ordnung des Wirkungsquantums zu den semiklassischen Spurformeln mit einbezogen. Andererseits wird eine Erweiterung auf kreuzkorrelierte Signale eingeführt, was die Effizienz der Methode deutlich erhöht. Die verschiedenen Techniken werden dann auf zwei Beispielsysteme mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften angewendet: auf das Kreisbillard als Beispiel für ein geschlossenes integrables System und auf das offene und geschlossene Drei-Scheiben-Billard als Beispiel für ein chaotisches System. Die extreme Leistungsfähigkeit und die Universalität des neuartigen Verfahrens werden dabei eindrucksvoll unter Beweis gestellt.

•Jan 1, 2001•0 citations

The harmonic oscillator

Efstratios Manousakis

Abstract This chapter discusses the one-dimensional harmonic oscillator. It begins by discussing under what conditions the harmonic approximation can be used. It then transforms the Hamiltonian of the harmonic oscillator in terms of rising and lowering operators and then it finds its spectrum of eigenvalues and eigenstates.

•Nov 1, 2015•0 citations

Lithographie und Materialwellenoptik mit lasergekühlten Atomstrahlen

Peter Engels

Zusammenfassung Innerhalb der modernen Atomphysik hat sich die Atomoptik als ein zentrales Forschungsfeld etabliert.Insbesondere die Atomlithographie, die eine der bedeutendsten Anwendungen der Atomoptik ist, und atomare Leiterstrukturen nehmen dabei eine herausragende Stellung ein.Während alle bisherigen Experimente auf dem Gebiet der Atomlithographie stets mit thermischen Atomstrahlen durchgeführt wurden, demonstriert die vorliegende Arbeit den erstmaligen Einsatz eines abgebremsten Atomstrahles für die Atomlithographie, woraus sich für dieses Verfahren innovative Perspektiven ergeben.Darüber hinaus befaßt sich diese Arbeit auch mit der Entwicklung magnetischer Leiterstrukturen, die sich als ein flexibles neues atomoptisches Element zur Manipulation langsamer Strahlen erweisen.Im Rahmen des Forschungsschwerpunktes Atomlithographie wurden sowohl verschiedenartige Resists für Ne* als auch der Einsatz von Lichtkräften zur Nanostrukturierung charakterisiert und bewertet.Zwei der untersuchten Resists stammten dabei aus dem Gebiet der SAMs (self-assembled monolayers).Hier konnte experimentell gezeigt werden, daß SAM-Schichten, die von Dodecanthiol-Molekülen bzw.von Octadecyltrichlorsilan-Molekülen (OTS) gebildet werden, durch Bestrahlung mit Ne* in geeigneter Weise verändert werden können.Im Falle des OTS gelang es sogar mit Hilfe der Rasterkraftmikroskopie (AFM), erstmalig in der Atomlithographie mit metastabilen Edelgasen einen direkten Topographiekontrast ohne jeglichen Ätzprozeß festzustellen.Dies erlaubt Rückschlüsse auf die Schädigung, die SAM-Schichten bei Bestrahlung mit Ne* erfahren.Weiterhin konnte auch die durch Ne* induzierte Abscheidung von Hintergrundgasmolekülen benutzt werden, um Ätzmasken zu erzeugen und damit Oberflächen zu strukturieren.Als Prototyp für ein atomoptisches Element, mit dem eine Fokussierung des Atomstrahles bis in den Nanometerbereich möglich ist, wurde eine optische Stehwelle untersucht.Zur theoretischen Simulation wurden sowohl klassische Trajektorienrechnungen als auch eine quantenmechanische Wellenpropagation benutzt.Schwierigkeiten, die sich bei der Fokussierung speziell eines langsamen Strahles ergaben, konnten durch die Entwicklung eines Verfahrens umgangen werden, welches zusätzlich zum Fokussieren auch einen Umpumpprozeß zwischen inneren Zuständen der Atome ("Quenching") verwendet.Die erfolgreiche Lokalisation von Atomen im Inneren einer solchen Stehwelle konnte experimentell sowohl indirekt mit Hilfe eines MCP-Detektors als auch direkt mit Hilfe der Atomlithographie nachgewiesen werden.Als neues und flexibles atomoptisches Element für langsame Atomstrahlen, welches sowohl für die Atomlithographie als auch für viele Grundlagenexperimente zukunftsweisend ist, wurden magnetische Leiterstrukturen entwickelt, eingesetzt und charakterisiert.Die zum Führen des Atomstrahles benutzten Magnetfelder wurden dabei durch stromdurchflossene Leiter erzeugt.Hiermit gelang es u.a., den Atomstrahl entlang eines s-kurvenförmigen Verlaufes mit Kurvenradien von 45 cm zu führen.Schließlich wurde auch eine Miniaturisierung solcher Leiter in Form von lithographisch auf einer Chipoberfläche aufgebrachten elektrischen Leiterbahnen demonstriert.Dies stellt einen ersten Schritt auf dem Weg zu integrierten atomoptischen Elementen dar, bei denen alle Komponenten eines Experimentes auf einem einzigen Chip integriert werden.Die vorliegende Arbeit dokumentiert damit nicht nur innovative Verfahren zur Nanostrukturierung von Oberflächen, sondern zeigt zudem auch zukünftige Wege für eine integrierte und kohärente Atomoptik mit weitreichenden Anwendungsgebieten auf.

•Jan 1, 2001•0 citations

Nonlinear Integral Equations for the Thermodynamics of Integrable Quantum Chains

Jens Damerau

Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit der Berechnung der Thermodynamik integrabler Quantenketten vom Uimin-Sutherland-Typ mit Hilfe nichtlinearer Integralgleichungen (NLIEs). Es gibt verschiedene Typen derartiger Gleichungen, jedoch erlaubt nur ein Typ die effiziente und hochprazise numerische Losung bei beliebiger Temperatur und allgemeinen chemischen Potentialen. Die Herleitung basiert auf dem Quanten-Transfermatrix-Zugang, wobei die sich ergebenden Bethe-Ansatz-Gleichungen in einen geschlossenen Satz von lediglich endlich vielen NLIEs transformiert werden. Um dies zu erreichen, mussen geeignete Hilfsfunktionen mit bestimmten Analytizitatseigenschaften gefunden werden. Die notwendigen Hilfsfunktionen waren zuvor lediglich fur Uimin-Sutherland-Modelle mit zwei bzw. drei Komponenten bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Zugang auf alle moglichen Falle mit vier Komponenten erweitert, fur die viele weitere Anwendungen, wie z.B. das SU(4) Spin-Orbital-Modell, eine Spin-1/2 Doppelleiter und das Essler-Korepin-Schoutens Modell, bekannt sind. Verschiedene Grenzfalle der neuen Satze von NLIEs werden betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie die Hilfsfunktionen zu modifizieren sind, um den exakten Abschlus der NLIEs des TBA-Zugangs auf beliebiger Ebene zu erreichen. Obwohl kein allgemeines Konstruktionsschema fur die Hilfsfunktionen bekannt ist, kann ein Grosteil der Struktur der endgultigen NLIEs fur die sl(n)- und sl(n|1)-symmetrischen Falle des Uimin-Sutherland-Modells auf Basis der bekannten Ergebnisse abgeleitet werden. Fur den sl(5)- und den sl(4|1)-symmetrischen Fall ist es sogar moglich, fur den kompletten Satz von NLIEs eine fundierte Vermutung abzugeben. Letzterer Fall findet bei der Behandlung des SU(4|1) Spin-Orbital-Modells mit beweglichen Lochern Anwendung. Abschliesend werden numerische Ergebnisse fur alle betrachteten Modelle geliefert.

•Jul 8, 2008•4 citations

Simplified method of calculating matrix elements of operators for harmonic oscillator

Ju Guo-Xing

The problems of simply and directly computing the matrix elements of coordinate operator for the harmonic oscillator in both the number states and the coherent states representations are studied in detail,the explicit procedures are given and some issues related to the methods and procedures in the literatures are commented.

College Physics•Jan 1, 2011•0 citations
One- and two-centre matrix elements for a wide class of operators in an harmonic oscillator basis are derived by operator methods. The advantage of the method is that all calculations are reduced to the well known Hausdorff transform. The elementary operator steps in the harmonic oscillator occupation number representation make this technique suitable for introductory quantum mechanics classes. Zusammenfassung. Fur eine Vielzahl von Operatoren wurden Ein- und Zweizentren-Matrixelemente des harmonischen Oszillators mit Operatormethoden abgeleitet. Die elementaren Operatorschritte in der Besetzungszahldarstellung wurden auf die bekannte Hausdorff-Formel zuruckgefuhrt.
Abstract Occupation number representation and operator-technique are used in the calculation of harmonic oscillator matrixelements for one and two centres and for equal and different frequencies. The potentials treated are generalized Gauss-potentials of the form p̑k x̑l exp{a x̑2 }, x̑k p̑l exp{a p̑2 }, and p̑k x̑l exp{a x̑ p̑} which by application of an operator identity could be reduced to the same form. Applications in nuclear and molecular physics, in molecular spectroscopy and in quantum chemistry are discussed briefly.
Die Gutzwiller-Spurformel für klassisch chaotische Systeme und die Berry-Tabor-Formel für integrable Systeme geben eine semiklassische Näherung für die quantenmechanische Zustandsdichte an, die die Form einer Summe über alle periodischen Bahnen des Systems annimmt. Da diese Summe jedoch in der Regel nicht konvergiert, ist eine direkte Bestimmung der Eigenwerte aus den Spurformeln nicht möglich. Umgehen lässt sich dieses Problem mit Hilfe der harmonischen Inversion, einer der Signaltheorie entlehnten Methode, die im Gegensatz zu früheren Verfahren keine speziellen Eigenschaften des Systems voraussetzt. Die harmonische Inversion lässt sich einerseits nutzen, um aus den Spurformeln die quantenmechanischen Eigenwerte zu gewinnen. Das Problem der semiklassischen Quantisierung wird dabei zurückgeführt auf die Analyse von semiklassischen Signalen. Umgekehrt können aus quantenmechanischen Spektren die Beiträge der einzelnen periodischen Bahnen bestimmt werden. In dieser Arbeit werden zwei neuartige Erweiterungen der Methode der harmonischen Inversion eingeführt. Einerseits werden - sowohl bei der semiklassischen Quantisierung als auch bei der Analyse von Quantenspektren - Korrekturen höherer Ordnung des Wirkungsquantums zu den semiklassischen Spurformeln mit einbezogen. Andererseits wird eine Erweiterung auf kreuzkorrelierte Signale eingeführt, was die Effizienz der Methode deutlich erhöht. Die verschiedenen Techniken werden dann auf zwei Beispielsysteme mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften angewendet: auf das Kreisbillard als Beispiel für ein geschlossenes integrables System und auf das offene und geschlossene Drei-Scheiben-Billard als Beispiel für ein chaotisches System. Die extreme Leistungsfähigkeit und die Universalität des neuartigen Verfahrens werden dabei eindrucksvoll unter Beweis gestellt.
Zusammenfassung Innerhalb der modernen Atomphysik hat sich die Atomoptik als ein zentrales Forschungsfeld etabliert.Insbesondere die Atomlithographie, die eine der bedeutendsten Anwendungen der Atomoptik ist, und atomare Leiterstrukturen nehmen dabei eine herausragende Stellung ein.Während alle bisherigen Experimente auf dem Gebiet der Atomlithographie stets mit thermischen Atomstrahlen durchgeführt wurden, demonstriert die vorliegende Arbeit den erstmaligen Einsatz eines abgebremsten Atomstrahles für die Atomlithographie, woraus sich für dieses Verfahren innovative Perspektiven ergeben.Darüber hinaus befaßt sich diese Arbeit auch mit der Entwicklung magnetischer Leiterstrukturen, die sich als ein flexibles neues atomoptisches Element zur Manipulation langsamer Strahlen erweisen.Im Rahmen des Forschungsschwerpunktes Atomlithographie wurden sowohl verschiedenartige Resists für Ne* als auch der Einsatz von Lichtkräften zur Nanostrukturierung charakterisiert und bewertet.Zwei der untersuchten Resists stammten dabei aus dem Gebiet der SAMs (self-assembled monolayers).Hier konnte experimentell gezeigt werden, daß SAM-Schichten, die von Dodecanthiol-Molekülen bzw.von Octadecyltrichlorsilan-Molekülen (OTS) gebildet werden, durch Bestrahlung mit Ne* in geeigneter Weise verändert werden können.Im Falle des OTS gelang es sogar mit Hilfe der Rasterkraftmikroskopie (AFM), erstmalig in der Atomlithographie mit metastabilen Edelgasen einen direkten Topographiekontrast ohne jeglichen Ätzprozeß festzustellen.Dies erlaubt Rückschlüsse auf die Schädigung, die SAM-Schichten bei Bestrahlung mit Ne* erfahren.Weiterhin konnte auch die durch Ne* induzierte Abscheidung von Hintergrundgasmolekülen benutzt werden, um Ätzmasken zu erzeugen und damit Oberflächen zu strukturieren.Als Prototyp für ein atomoptisches Element, mit dem eine Fokussierung des Atomstrahles bis in den Nanometerbereich möglich ist, wurde eine optische Stehwelle untersucht.Zur theoretischen Simulation wurden sowohl klassische Trajektorienrechnungen als auch eine quantenmechanische Wellenpropagation benutzt.Schwierigkeiten, die sich bei der Fokussierung speziell eines langsamen Strahles ergaben, konnten durch die Entwicklung eines Verfahrens umgangen werden, welches zusätzlich zum Fokussieren auch einen Umpumpprozeß zwischen inneren Zuständen der Atome ("Quenching") verwendet.Die erfolgreiche Lokalisation von Atomen im Inneren einer solchen Stehwelle konnte experimentell sowohl indirekt mit Hilfe eines MCP-Detektors als auch direkt mit Hilfe der Atomlithographie nachgewiesen werden.Als neues und flexibles atomoptisches Element für langsame Atomstrahlen, welches sowohl für die Atomlithographie als auch für viele Grundlagenexperimente zukunftsweisend ist, wurden magnetische Leiterstrukturen entwickelt, eingesetzt und charakterisiert.Die zum Führen des Atomstrahles benutzten Magnetfelder wurden dabei durch stromdurchflossene Leiter erzeugt.Hiermit gelang es u.a., den Atomstrahl entlang eines s-kurvenförmigen Verlaufes mit Kurvenradien von 45 cm zu führen.Schließlich wurde auch eine Miniaturisierung solcher Leiter in Form von lithographisch auf einer Chipoberfläche aufgebrachten elektrischen Leiterbahnen demonstriert.Dies stellt einen ersten Schritt auf dem Weg zu integrierten atomoptischen Elementen dar, bei denen alle Komponenten eines Experimentes auf einem einzigen Chip integriert werden.Die vorliegende Arbeit dokumentiert damit nicht nur innovative Verfahren zur Nanostrukturierung von Oberflächen, sondern zeigt zudem auch zukünftige Wege für eine integrierte und kohärente Atomoptik mit weitreichenden Anwendungsgebieten auf.
Die vorliegende Arbeit beschaftigt sich mit der Berechnung der Thermodynamik integrabler Quantenketten vom Uimin-Sutherland-Typ mit Hilfe nichtlinearer Integralgleichungen (NLIEs). Es gibt verschiedene Typen derartiger Gleichungen, jedoch erlaubt nur ein Typ die effiziente und hochprazise numerische Losung bei beliebiger Temperatur und allgemeinen chemischen Potentialen. Die Herleitung basiert auf dem Quanten-Transfermatrix-Zugang, wobei die sich ergebenden Bethe-Ansatz-Gleichungen in einen geschlossenen Satz von lediglich endlich vielen NLIEs transformiert werden. Um dies zu erreichen, mussen geeignete Hilfsfunktionen mit bestimmten Analytizitatseigenschaften gefunden werden. Die notwendigen Hilfsfunktionen waren zuvor lediglich fur Uimin-Sutherland-Modelle mit zwei bzw. drei Komponenten bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Zugang auf alle moglichen Falle mit vier Komponenten erweitert, fur die viele weitere Anwendungen, wie z.B. das SU(4) Spin-Orbital-Modell, eine Spin-1/2 Doppelleiter und das Essler-Korepin-Schoutens Modell, bekannt sind. Verschiedene Grenzfalle der neuen Satze von NLIEs werden betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie die Hilfsfunktionen zu modifizieren sind, um den exakten Abschlus der NLIEs des TBA-Zugangs auf beliebiger Ebene zu erreichen. Obwohl kein allgemeines Konstruktionsschema fur die Hilfsfunktionen bekannt ist, kann ein Grosteil der Struktur der endgultigen NLIEs fur die sl(n)- und sl(n|1)-symmetrischen Falle des Uimin-Sutherland-Modells auf Basis der bekannten Ergebnisse abgeleitet werden. Fur den sl(5)- und den sl(4|1)-symmetrischen Fall ist es sogar moglich, fur den kompletten Satz von NLIEs eine fundierte Vermutung abzugeben. Letzterer Fall findet bei der Behandlung des SU(4|1) Spin-Orbital-Modells mit beweglichen Lochern Anwendung. Abschliesend werden numerische Ergebnisse fur alle betrachteten Modelle geliefert.