Étant donnée l'incertitude sur les conditions initiales — due à l'imprécision inévitable des mesures — les prévisions de la mécanique classique ne se rapportent jamais à une trajectoire précise, mais à un ensemble de trajectoires donné par une distribution de probabilités. La tâche réelle de la mécanique est de prédire l'évolution de cette distribution au cours du temps. On montre que, dans tous les cas, sauf celui des oscillateurs harmoniques, cette distribution s'étale et que la prévisibilité s'estompe. Dans le cas des mouvements périodiques et quasi-périodiques, toute prédiction sur la configuration du système considéré devient impossible à partir d'un temps critique calculable en fonction des conditions initiales. Si l'on décrit l'état de ce système par des variables angulaires ϕ et leurs variables conjuguées d'action J, on atteint au bout d'un temps assez long un état-limite où les J sont presque rigoureusement determinés tandis que les ϕ restent totalement indéterminés. Ceci correspond à l'état stationnaire de la théorie quantique de Bohr, mais ici les J ne sont pas nécessairement multiples entiers de h. Ces considérations ne doivent nullement effacer la différence fondamentale entre mécaniques classique et quantique ; leur but unique est de montrer que l'idée de détermination en mécanique classique repose sur une hypothèse dénuée de sens et que l'absence de détermination en mécanique quantique ne peut servir d'objection à cette théorie.
Étant donnée l'incertitude sur les conditions initiales — due à l'imprécision inévitable des mesures — les prévisions de la mécanique classique ne se rapportent jamais à une trajectoire précise, mais à un ensemble de trajectoires donné par une distribution de probabilités. La tâche réelle de la mécanique est de prédire l'évolution de cette distribution au cours du temps. On montre que, dans tous les cas, sauf celui des oscillateurs harmoniques, cette distribution s'étale et que la prévisibilité s'estompe. Dans le cas des mouvements périodiques et quasi-périodiques, toute prédiction sur la configuration du système considéré devient impossible à partir d'un temps critique calculable en fonction des conditions initiales. Si l'on décrit l'état de ce système par des variables angulaires ϕ et leurs variables conjuguées d'action J, on atteint au bout d'un temps assez long un état-limite où les J sont presque rigoureusement determinés tandis que les ϕ restent totalement indéterminés. Ceci correspond à l'état stationnaire de la théorie quantique de Bohr, mais ici les J ne sont pas nécessairement multiples entiers de h. Ces considérations ne doivent nullement effacer la différence fondamentale entre mécaniques classique et quantique ; leur but unique est de montrer que l'idée de détermination en mécanique classique repose sur une hypothèse dénuée de sens et que l'absence de détermination en mécanique quantique ne peut servir d'objection à cette théorie.
L'hypothèse des sauts quantiques (qu'un point matériel ne peut émettre ou recevoir d'actions extérieures qu'à des intervalles d'action hamiltonienne égaux à h) impose au champ ambiant des forces électromagnétiques une propagation apparente régie par une équation d'ondes où intervient l'action hamiltonienne de l'électron-explorateur nécessaire pour déceler le champ. Cette action hamiltonienne étant d'autre part déterminée par le champ extérieur à la manière classique, l'équation définitive qui régit le champ ambiant résulte de l'élimination de l'action hamiltonienne entre l'équation d'ondes et les équations de la mécanique classique. Cette élimination, immédiate dans le cas de l'approximation de Schrodinger, ne peut se faire dans le cas de la mécanique relativiste qu'en passant des équations du second ordre (des ondes et d'Hamilton-Jacobi) à des équations du premier ordre équivalentes et donne alors le système d'équations de Dirac. Ces équations de Dirac une fois résolues, on peut calculer en fonction de leurs solutions, au moyen des équations précédentes du premier ordre, la quantité de mouvement et l'énergie d'un électron-explorateur en un point quelconque du champ ambiant. Le fait que la position initiale d'un électron vrai est indéterminée dans les données du problème ne permet alors de traiter l'étude de la trajectoire de l'électron que statistiquement, par les méthodes classiques de la mécanique statistique. On retrouve ainsi, dans le cas des trajectoires « possibles » de la mécanique classique, les interprétations statistiqnes prises en hypothèse par Dirac. Un appendice revient sur l'approximation de Schrödinger, précise la différence des électrons vrais et des électrons explorateurs, et interprète l'expérience de Davisson et Germer.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
On étudie les champ statiques, d'une part, en vue de préciser les limites spatiales oú une loi de champ due à une source peut être vérifiée au moyen de mesures et, d'autre part, en vue de fixer les conditions où la forme classique des lois ponctuelles se trouve justifiée. Dans le premier de ces problèmes, la méthode de mesure utilisée est celle de la diffusion de corps d'épreuve convenables dans les champs créés par des centres, les dimensions des premiers commes celles des derniers étant négligées. Une comparaison des conclusions relatives aux régions d'espace entourant une source - où règne ou ne règne pas, un champ hypothétique de forme précise — des points de vue classique et quantique, et pour le même processus de mesure, conduit à fixer la limite de validité comparative de la théorie classique. Cette limite serait déterminée par le rapport d/λ, où d est la distance d'approche minimum classique du corps d'épreuve utilisé à la source du champ et λ la longueur d'onde de de Broglie associée au corps d'épreuve. Tant que ce rapport est supérieur à l'unité, les conclusions indiquées coïncident dans les théories classique et quantique; par contre, lorsque ce rapport est inférieur à l'unité on se trouve dans un domaine où seules les conclusions conformes à la Mécanique quantique sont admissibles. La condition d/λ < 1 pouvait être généralisée comme devant être satisfaite nécessairement par toute méthode d'approximation fondée sur la Mécanique quantique en vue de décrire des processus de diffusion dans les champs considérés ici (champs dérivant d'un potentiel et fonctions de la distance). Il se trouve en particulier que dans les champs du type Coulomb le rapport précédent est justement le paramètre de développement en série de la méthode d'approximations successives de Born. On montre enfin, en étudiant localement un champ statique à l'aide de mesures directes de composantes de champ, que les lois classiques ponctuelles peuvent être justifiées dans le cas des champs uniformes et dans les régions des champs non uniformes où ceux ci varient relativement lentement le long de distances de l'ordre des dimensions linéaires des corps d'épreuve de volume fini utilisés dans la mesure.
La physique classique, par son caractère fondamentalement déterministe, ne permet pas la production d’aléa vrai. La physique quantique, quant à elle, fait des prévisions probabilistes, sur des processus qui paraissent fondamentalement aléatoires. De plus, les réponses apportées aux paradoxes de types EPR, comme la réponse formulée par les inégalités de Bell [16] et leurs expérimentations par Alain Aspect, montrent que la physique quantique ne peut être complétée en une théorie entièrement prédictive. Une question émane alors: Quelles sont les expériences quantiques fondamentalement aléatoires ? Cristian S.Calude et Al [4] montrent que presque toutes les mesures quantiques produisent de l’aléa (Théorème Strong Kochen Specker). Dans le cadre de cette thèse, notre but est ainsi de proposer de nouveaux schémas de génération quantique d’aléa (voir [10,13]) basés sur ce caractère aléatoire intrinsèque aux expériences quantiques. Ces protocoles explorent l’utilisation de produits d’observables incompatibles implémentées l’une à la suite de l’autre comme le font les auteurs de [36]. Pour un apport en sécurité à ces protocoles, nous dérivons, à partir d’inégalités de Bell déjà existantes notamment CHSH [28] et CHSH-3 (initialement CGLMP pour qutrits [29]), de nouvelles inégalités. Cette fois-ci, l’on considère des configurations constituées d’un unique Qutrit où la contrainte de commutativité des observables n’est pas imposée. La borne classique est cette fois-ci obtenue sous l’hypothèse du Réalisme macroscopique [51], comme celles des inégalités temporelles [36]. Ces bornes classiques sont égales à celles obtenues dans le cadre du réalisme locale. Cependant, les bornes quantiques, obtenues par SDP, peuvent être plus grandes que celles des expressions originelles permettant ainsi une meilleure résistance au bruit et donc à de potentielles attaques. Ces violations par rapport au cadre classique ne sont plus dues à la non localité mais plutôt au caractère indéfini des résultats de presque toutes les mesures quantiques. Avec les observables et états optimum de ces inégalités, nous donnons des arguments d'auto-test pour nos protocoles. Cette thèse a aussi été l’occasion de revisiter certains aspects de la cryptographie quantique comme la distribution quantique de clé.
La communauté scientifique a réussi ces dernières années à bâtir des systèmes quantiques simples sur lesquels des séries de mesures sont acquises successivement le long de trajectoires quantiques et sans réinitialisation de l’état (opérateur densité) par l’expérimentateur.L’objet de cette thèse est d’adapter les méthodes de tomographie quantique (estimation d’état et de paramètres) à ce cadre pour prendre en compte la rétroaction de la mesure sur l’état, la décohérence et les imperfections expérimentales.Durant le processus de mesure, l’évolution de l’état quantique est alors gouvernée par un processus de Markov à états cachés (filtres quantiques de Belavkin). Pour des mesuresen temps continu, nous commençons par montrer comment discrétiser l’équation maîtresse stochastique tout en préservant la positivité et la trace de l’état quantique, et ainsi sera mener aux filtres quantiques en temps discret. Ensuite, nous développons, à partir de trajectoires de mesures en temps discret, des techniques d’estimation par maximum de vraisemblance pour l’état initial et les paramètres. Cette estimation est accompagnée de son intervalle de confiance. Lorsqu’elle concerne des valeurs de paramètres (tomographie de processus quantique), nous donnons un résultat de robustesse grâce au formalisme des filtres particulaires et nous proposons une méthode de maximisation fondée sur le calcul du gradient par l’adjoint et bien adaptée au cas multiparamétrique. Lorsque l’estimation porte sur l’état initial (tomographie d’état quantique), nous donnons une formulation explicite de la fonction de vraisemblance grâce aux états adjoints, montrons que son logarithme est une fonction concave de l’état initial et élaborons une expression intrinsèque de la variance grâce à des développements asymptotiques de moyennes bayésiennes et reposant sur la géométrie de l’espace des opérateurs densité.Ces méthodes d’estimation ont été appliquées et validées expérimentalement pour deux types de mesures quantiques : des mesures en temps discret non destructives de photons dans le groupe d’électrodynamique quantique en cavité du LKB au Collège de France, des mesures diffusives de la fluorescence d’un qubit supraconducteur dans le groupe d’électronique quantique du LPA à l’ENS Paris.
De nombreux phénomènes de physique quantique ne peuvent être compris que par l'analyse des systèmes ouverts. Un appareil de mesure, par exemple, est un système macroscopique en contact avec un système quantique. Ainsi, tout modèle d'expérience doit prendre en compte les dynamiques propres aux systèmes ouverts. Ces dynamiques peuvent être complexes : l'interaction du système avec son environnement peut modifier ses propriétés, l'interaction peu créer des effets de mémoire dans l'évolution du système, . . . Ces dynamiques sont particulièrement importantes dans l'étude des expériences d'optique quantique. Nous sommes aujourd'hui capables de manipuler individuellement des particules. Pour cela la compréhension et le contrôle de l'influence de l'environnement est crucial. Dans cette thèse nous étudions d'un point de vue théorique quelques procédures communément utilisées en optique quantique. Avant la présentation de nos résultats, nous introduisons et motivons l'utilisation de la description markovienne des systèmes quantiques ouverts. Nous présentons a la fois les équations maîtresses et le calcul stochastique quantique. Nous introduisons ensuite la notion de trajectoire quantique pour la description des mesures indirectes continues. C'est dans ce contexte que l'on présente les résultats obtenus au cours de cette thèse. Dans un premier temps, nous étudions la convergence des mesures non destructives. Nous montrons qu'elles reproduisent la réduction du paquet d'onde du système mesuré. Nous montrons que cette convergence est exponentielle avec un taux fixe. Nous bornons le temps moyen de convergence. Dans ce cadre, en utilisant les techniques de changement de mesure par martingale, nous obtenons la limite continue des trajectoires quantiques discrètes. Dans un second temps, nous étudions l'influence de l'enregistrement des résultats de mesure sur la préparation d'état par ingénierie de réservoir. Nous montrons que l'enregistrement des résultats de mesure n'a pas d'influence sur la convergence proprement dite. Cependant, nous trouvons que l'enregistrement des résultats de mesure modifie le comportement du système avant la convergence. Nous retrouvons une convergence exponentielle avec un taux équivalent au taux sans enregistrement. Mais nous trouvons aussi un nouveau taux de convergence correspondant a une stabilité asymptotique. Ce dernier taux est interprété comme une mesure non destructive ajoutée. Ainsi l'état du système ne converge qu'après un temps aléatoire. A partir de ce temps la convergence peut être bien plus rapide. Nous obtenons aussi une borne sur le temps moyen de convergence.