Abstract Am speziellen Beispiel des (eindimensional behandelten) kräftefreien Teilchens und des eindimensionalen harmonischen Oszillators wird deutlich gemacht, daß die Einführung von Zeitoperatoren T, die der Vertauschungsrelation [H, T] = – iℏ 1 genügen, – wegen der „Abnormität”︁ ihres Definitionsbereiches – physikalisch wenig sinnvoll ist. Die T‐Operatoren werden (für die genannten beiden Fälle) explizit angegeben. Für den T‐Operator des freien Teilchens werden außerdem noch Zustände (genähert) scharfer Zeit („Uhrenzustände”︁) konstruiert.
Abstract Am speziellen Beispiel des (eindimensional behandelten) kräftefreien Teilchens und des eindimensionalen harmonischen Oszillators wird deutlich gemacht, daß die Einführung von Zeitoperatoren T, die der Vertauschungsrelation [H, T] = – iℏ 1 genügen, – wegen der „Abnormität”︁ ihres Definitionsbereiches – physikalisch wenig sinnvoll ist. Die T‐Operatoren werden (für die genannten beiden Fälle) explizit angegeben. Für den T‐Operator des freien Teilchens werden außerdem noch Zustände (genähert) scharfer Zeit („Uhrenzustände”︁) konstruiert.
Die Arbeit bietet eine systematische Einführung in die Grundlagen der Quantenmechanik und entwickelt diese ausgehend von Heisenbergs Ansatz, „nur messbare Größen zuzulassen“ . Im Zentrum steht die Abkehr von klassischen Atommodellen und die Etablierung der Operatorenmechanik, in der Observablen durch hermitesche Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum dargestellt werden. Zustände werden als Vektoren formuliert, deren Transformationen und Messprozesse durch lineare Operatoren beschrieben sind. Ein Schwerpunkt liegt auf der physikalischen und mathematischen Analyse des Spins. Ausgehend vom Stern‑Gerlach‑Experiment wird gezeigt, dass Spinkomponenten nicht kontinuierlich, sondern ausschließlich diskrete Werte annehmen: „Dem war aber nicht so. Sondern es gab nur Punkte rund um o und um u.“ . Die Arbeit erläutert die quantisierte Natur des Spins, die Rolle des Landé‑Faktors, die Interpretation von Messprozessen sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei Drehung des Messapparats. Darauf aufbauend wird die mathematische Struktur der Quantenmechanik entwickelt: Hilberträume, Orthonormalbasen, Bra‑Ket‑Notation, Wahrscheinlichkeitsamplituden und die Darstellung von Operatoren als Matrizen. Die Pauli‑Matrizen werden eingeführt und ihre Rolle als Spinoperatoren detailliert hergeleitet. Die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren für stabile Zustände wird anhand des Spinoperators Sz demonstriert. Abschließend verbindet der Text experimentelle Evidenz, mathematische Formalisierung und konzeptionelle Interpretation zu einer kohärenten Darstellung der Quantenmechanik, die sowohl für die physikalische Intuition als auch für die theoretische Weiterarbeit geeignet ist.
Die phänomenologischen Eigenschaften der Stoffe werden seit Jahrtausenden beobachtet und erforscht. Ihr mikroskopischer Aufbau dagegen wird erst seit vergleichsweise kurzer Zeit systematisch untersucht. Erst auf der Grundlage der Quantentheorie wurde es möglich, die Bindungseigenschaften und die spektroskopischen Eigenschaften der Atome, Moleküle und Festkörper zu verstehen. In den einführenden Abschnitten werden Aspekte der historischen Entwicklung angegeben, die zur Formulierung der (zeitunabhängigen) Schrödinger-Gleichung geführt haben. Dabei wird auf prinzipielle Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik hingewiesen. Die Bedeutung von Eigenwertgleichungen wird hervorgehoben. Wir behandeln einfache Systeme, für die die Schrödinger-Gleichung geschlossen lösbar ist: das Elektron im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden, den harmonischen Oszillator und den starren Rotator. Die Lösung der Drehimpulseigenwertprobleme ist Voraussetzung für die nachfolgende Behandlung der Atome.
Die phänomenologischen Eigenschaften der Stoffe werden seit Jahrtausenden beobachtet und erforscht. Ihr mikroskopischer Aufbau dagegen wird erst seit vergleichsweise kurzer Zeit systematisch untersucht. Erst auf der Grundlage der Quantentheorie wurde es möglich, die Bindungseigenschaften und die spektroskopischen Eigenschaften der Atome, Moleküle und Festkörper zu verstehen. In den einführenden Abschnitten werden Aspekte der historischen Entwicklung angegeben, die zur Formulierung der (zeitunabhängigen) SchrödingerGleichung geführt haben. Dabei wird auf prinzipielle Unterschiede zwischen klassischer Physik und Quantenphysik hingewiesen. Die Bedeutung von Eigenwertgleichungen wird hervorgehoben. Wir behandeln einfache Systeme, für die die Schrödinger-Gleichung geschlossen lösbar ist: das Elektron im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden, den harmonischen Oszillator und den starren Rotator. Die Lösung der Drehimpulseigenwertprobleme ist Voraussetzung für die nachfolgende Behandlung der Atome.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.
Unter dem Einfluß einer Störung geht ein quantenmechanisches System bei kontinuierlichem Spektrum bekanntlich mit der Übergangswahrscheinlichkeit (1) (§ 17) von einem Zustand n in einen anderen Zustand k über. ϱ (Εn) ist die Dichte der Energiezustände des kontinuierlichen Spektrums. In der Phosphortheorie ist es notwendig, Übergangswahrscheinlichkeiten für Übergänge zwischen diskreten Zuständen wechselwirkender quantenmechanischer Systeme abzuleiten (§ 17). Da hier kein kontinuierliches Spektrum vorhanden ist, wird die Dichte ρ (En) als statistische Streuung der Energien gedeutet, d. h. als Linienbreitenfunktion (§ 22). Um die analoge Formel zum Kontinuumsfall mit veränderter Deutung der Dichtefunktion zu beweisen, muß auf die Grundlagen der statistischen Auffassung physikalischer Ereignisse zurückgegangen werden (§ 18). Es zeigt sich, daß im eindimensionalen Fall des freien Teilchens neben der Bornschen Interpretation auch eine Energie—Zeit-Statistik möglich ist, bei welcher der Ort x des Teilchens als Parameter auftritt (§ 19). Diese statistische Interpretation ist symmetrisch zur Orts-Impulsstatistik mit der Zeit t als Parameter. Auf den HILBERT-Raum der Zustandsfunktionen komplizierterer quantenmechanischer Systeme ist diese symmetrische Interpretation übertragbar (§ 20). Damit lassen sich die Übergangswahrscheinlichkeiten mit Hilfe statistischer Überlegungen (§ 21) über den Wechselwirkungsprozeß (§ 23) streng aus der SCHRÖDINGER-Gleichung mit dem Wechselwirkungsoperator herleiten. Die Linienbreiten sind in dieser Darstellung an die Störung rückgekoppelt (§ 24) und erlauben in einfachen Fällen eine direkte Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit.