Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Zeitschrift für Naturforschung A

Zum Zusammenhang zwischen S-Matrix und Normierungsintegralen in der Quantenmechanik

Gerhart Lüders

Published Jul 1, 1955• 83 citations
Publisher

Abstract

Durch Untersuchung der Schrödinger-Gleichung für die S-Zustände eines spinfreien nicht-relativistischen Teilchens in einem kugelsymmetrischen Potential endlicher Reichweite wird gewonnen: 1. eine neue Ableitung des Zusammenhangs zwischen Residuum der S-Matrix an den gebundenen Zuständen zugeordneten Polen und dem Normierungsintegral der Wellenfunktion; 2a) für Streuzustände ein Zusammenhang zwischen Änderung der S-Matrix mit der Wellenzahl und dem innerhalb der Reichweite liegenden Teil des Normierungsintegrals; 2b) eine hieraus folgende Ungleichung, die kürzlich von Wigner angegeben wurde.

DOI
10.1515/zna-1955-0713

Related papers

Über den Zusammenhang der Eigenwerte der Heisenbergschen S-Matrix mit den stationären Zuständen

Josef Meixner

Abstract Für den von Kramers und Heisenberg gefundenen Zusammenhang zwischen den Eigenfunktionen des kontinuierlichen und des diskreten Spektrums eines wellen-mechanischen Eigenwertproblems wird ein neuer Beweis gegeben, der auf dem Ent-wicklungssatz und auf den Eigenschaften der Greenschen Funktion beruht.

Zeitschrift für Naturforschung A•Feb 1, 1948•5 citations

Über die Bedeutung der Stoßvorgänge für das Verständnis der Quantenmechanik

Max Born

ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1983•18 citations

Relativistische Quantenmechanik

Udo Scherz

Für die Einteilchenquantenmechanik wurde in Kap. 1 aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus mit Hilfe der De Broglie-Beziehungen ein Zusammenhang zwischen der klassichen Mechanik und der Schrödinger-Gleichung hergestellt.

Teubner-Studienbücher. Physik•Jan 1, 1999•3 citations

Drehimpulse der Quantenphysik

Gerd Otter, Raimund Honecker

Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1993•0 citations

Zur Theorie des Tunneleffekts eines Teilchens im Doppelminimumpotential

Jürgen Brickmann, Herbert W. Zimmermann

Es wurde die Bewegung eines Teilchens untersucht, das sich in einem Doppelminimumpotential bewegt und durch Tunneleffekt von einer zur andern Mulde gelangen kann. Die Verweilzeiten des Teilchens in den Potentialmulden (a) und (b) wurden für symmetrische und unsymmetrische Doppelminimumpotentiale berechnet. Zunächst wurden die Eigenlösungen eines Systems untersucht, bei dem ein Übergang des Teilchens zwischen den Mulden unmöglich ist. Dieses entkoppelte System läßt sich durch einen Hamilton-Operator ℋ0 beschreiben, der sich vom Hamilton-Operator ℋ des Doppelminimumproblems durch eine Teilchensperre T im Maximum der Potentialbarriere unterscheidet. ℋ0 setzt sich aus zwei kommutierenden Operatoren ℋ(a) und ℋ(b) zusammen, deren Eigenfunktionen jeweils nur über einen der Bereiche (a) oder (b) nichtverschwindende Amplituden aufweisen. Ein Eigenzustand von ℋ0 beschreibt somit ein Teilchen, das mit Sicherheit in einer der Mulden anzutreffen ist. Das gilt ebenso für eine beliebige statistische Mischung der Eigenzustände von ℋ(a)oderℋ(b). Damit kann für eine Gesamtheit von N0 Teilchen eine Anfangsbedingung formuliert werden, nach der zu einer bestimmten Zeit t0 sämtliche Teilchen z. B. in der Mulde (a) lokalisiert sind. Die zeitliche Änderung der statistischen Mischung wird nicht durch den Hamilton-Operator ℋ0, sondern durch ℋ bestimmt. Damit nimmt bei Anwendung des ℋ-abhängigen, unitären Operators U (t, t0) auf den statistischen Anfangszustand die Wahrscheinlichkeit W(b) (t), ein Teilchen für t > t0 in der Mulde (b) zu finden, einen endlichen Wert an. Die Zeit t′, nach der W(b) (t) erstmal seinen zeitlichen Mittelwert W̄(b) annimmt, ist dann charakteristisch für die Teilchenbewegung zwischen den Mulden. Die wahrscheinliche Verweilzeit τ(a) eines Teilchens in der Mulde (a) ist dann näherungsweise zu τ(a) = t′/ W̄(b) gegeben. Die Beziehung stimmt im Falle eines symmetrischen Doppelminimumpotentials mit früheren Rechnungen überein. Im Falle unsymmetrischer Potentiale ist sie zur Bestimmung von Verweilzeiten besser geeignet als die quasiklassische Methode.

Zeitschrift für Naturforschung A•Jan 1, 1968•20 citations

Bemerkungen zum Problem der verborgenen Parameter in der Quantenmechanik

Wolfgang Ernst Friederich Pauli

In einer Reihe von Arbeiten aus den Jahren 1926/27 hat de Broglie2eine Interpretation der Quantenmechanik erörtert, worin eine Wellenfunktion Ψ, die der Schrödinger-Gleichung gehorcht, genau so als Realität betrachtet wird wie die Teilchen. Ein,Zustand’ eines abgeschlossenen, aus n Teilchen bestehenden Systems wird darin in jedem Augenblick beschrieben erstens durch die Wellenfunktion Ψ in einem Raum mit f= 3 nDimensionen, zweitens durch die ‚reellen‘Lagekoordinaten z1,..., zfder Teilchen. Die den Zustand definierenden physikalischen Größen sind also (1) $$ \left( {{q_{1}}, \ldots {q_{f}};t} \right)und\;{z_{1}}\left( t \right), \ldots {z_{f}}\left( t \right), $$ .

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1988•0 citations
Durch Untersuchung der Schrödinger-Gleichung für die S-Zustände eines spinfreien nicht-relativistischen Teilchens in einem kugelsymmetrischen Potential endlicher Reichweite wird gewonnen: 1. eine neue Ableitung des Zusammenhangs zwischen Residuum der S-Matrix an den gebundenen Zuständen zugeordneten Polen und dem Normierungsintegral der Wellenfunktion; 2a) für Streuzustände ein Zusammenhang zwischen Änderung der S-Matrix mit der Wellenzahl und dem innerhalb der Reichweite liegenden Teil des Normierungsintegrals; 2b) eine hieraus folgende Ungleichung, die kürzlich von Wigner angegeben wurde.
ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.
Es wurde die Bewegung eines Teilchens untersucht, das sich in einem Doppelminimumpotential bewegt und durch Tunneleffekt von einer zur andern Mulde gelangen kann. Die Verweilzeiten des Teilchens in den Potentialmulden (a) und (b) wurden für symmetrische und unsymmetrische Doppelminimumpotentiale berechnet. Zunächst wurden die Eigenlösungen eines Systems untersucht, bei dem ein Übergang des Teilchens zwischen den Mulden unmöglich ist. Dieses entkoppelte System läßt sich durch einen Hamilton-Operator ℋ0 beschreiben, der sich vom Hamilton-Operator ℋ des Doppelminimumproblems durch eine Teilchensperre T im Maximum der Potentialbarriere unterscheidet. ℋ0 setzt sich aus zwei kommutierenden Operatoren ℋ(a) und ℋ(b) zusammen, deren Eigenfunktionen jeweils nur über einen der Bereiche (a) oder (b) nichtverschwindende Amplituden aufweisen. Ein Eigenzustand von ℋ0 beschreibt somit ein Teilchen, das mit Sicherheit in einer der Mulden anzutreffen ist. Das gilt ebenso für eine beliebige statistische Mischung der Eigenzustände von ℋ(a)oderℋ(b). Damit kann für eine Gesamtheit von N0 Teilchen eine Anfangsbedingung formuliert werden, nach der zu einer bestimmten Zeit t0 sämtliche Teilchen z. B. in der Mulde (a) lokalisiert sind. Die zeitliche Änderung der statistischen Mischung wird nicht durch den Hamilton-Operator ℋ0, sondern durch ℋ bestimmt. Damit nimmt bei Anwendung des ℋ-abhängigen, unitären Operators U (t, t0) auf den statistischen Anfangszustand die Wahrscheinlichkeit W(b) (t), ein Teilchen für t > t0 in der Mulde (b) zu finden, einen endlichen Wert an. Die Zeit t′, nach der W(b) (t) erstmal seinen zeitlichen Mittelwert W̄(b) annimmt, ist dann charakteristisch für die Teilchenbewegung zwischen den Mulden. Die wahrscheinliche Verweilzeit τ(a) eines Teilchens in der Mulde (a) ist dann näherungsweise zu τ(a) = t′/ W̄(b) gegeben. Die Beziehung stimmt im Falle eines symmetrischen Doppelminimumpotentials mit früheren Rechnungen überein. Im Falle unsymmetrischer Potentiale ist sie zur Bestimmung von Verweilzeiten besser geeignet als die quasiklassische Methode.
In einer Reihe von Arbeiten aus den Jahren 1926/27 hat de Broglie2eine Interpretation der Quantenmechanik erörtert, worin eine Wellenfunktion Ψ, die der Schrödinger-Gleichung gehorcht, genau so als Realität betrachtet wird wie die Teilchen. Ein,Zustand’ eines abgeschlossenen, aus n Teilchen bestehenden Systems wird darin in jedem Augenblick beschrieben erstens durch die Wellenfunktion Ψ in einem Raum mit f= 3 nDimensionen, zweitens durch die ‚reellen‘Lagekoordinaten z1,..., zfder Teilchen. Die den Zustand definierenden physikalischen Größen sind also (1) (q1,…qf;t)und  z1(t),…zf(t), \left( {{q_{1}}, \ldots {q_{f}};t} \right)und\;{z_{1}}\left( t \right), \ldots {z_{f}}\left( t \right), (q1​,…qf​;t)undz1​(t),…zf​(t), .