EL TEMA DEL PRESENTE TRABAJO HA SIDO INVESTIGADO INDEPENDIENTEMENTE POR M. MOSHINSKY Y POR EL AUTOR. RECIENTEMENTE M. MOSHINSKY HA MOSTRADO LA EQUIVALENCIA ENTRE SU PUNTO DE VISTA Y EL DEL AUTOR. NUESTRO METODO EN ESTE PROBLEMA ESTA BASADO ESENCIALMENTE SOBRE LA GEOMETRIA DEL ESPACIO - TIEMPO DE MINKOWSKI Y EN EL ANALISIS INTUITIVO QUE FRESNEL HA DADO PARA LA DIFRACCION. EN ESTA FORMA, LAS FORMULAS FUNDAMENTALES DE LA MECANICA ONDULATORIA SE OBTIENEN EN FORMA SIMETRICA EN LO QUE SE REFIERE A ESPACIO Y TIEMPO, LA INTERPRETACION DE FEYNMAN DE LOS ESTADOS DE ENERGIA NEGATIVA, SE VE CLARAMENTE ILUSTRADA.
EL TEMA DEL PRESENTE TRABAJO HA SIDO INVESTIGADO INDEPENDIENTEMENTE POR M. MOSHINSKY Y POR EL AUTOR. RECIENTEMENTE M. MOSHINSKY HA MOSTRADO LA EQUIVALENCIA ENTRE SU PUNTO DE VISTA Y EL DEL AUTOR. NUESTRO METODO EN ESTE PROBLEMA ESTA BASADO ESENCIALMENTE SOBRE LA GEOMETRIA DEL ESPACIO - TIEMPO DE MINKOWSKI Y EN EL ANALISIS INTUITIVO QUE FRESNEL HA DADO PARA LA DIFRACCION. EN ESTA FORMA, LAS FORMULAS FUNDAMENTALES DE LA MECANICA ONDULATORIA SE OBTIENEN EN FORMA SIMETRICA EN LO QUE SE REFIERE A ESPACIO Y TIEMPO, LA INTERPRETACION DE FEYNMAN DE LOS ESTADOS DE ENERGIA NEGATIVA, SE VE CLARAMENTE ILUSTRADA.
A diferencia de lo que ocurre en la Teoria de la Relatividad, donde el tiempo representa un papel esencial, en la Teoria Cuantica, el tiempo enseguida quedo relegado a un papel secundario, como un parametro. El famoso teorema de Pauli (1933) sobre la Imposibilidad de asociar el tiempo a un operador auto-adjunto en la mayoria de los sistemas fisicos hizo que los teoricos perdieran el interes por el tiempo como observable. Sin embargo, durante todos estos anos, los experimentalistas no han cesado de observar en los laboratorios fenomenos que se manifiestan a lo largo del tiempo y que ocurren, despues de preparar el sistema, en instantes bien definidos y aleatorios. Si entendemos como observable, en un sentido amplio, cualquier magnitud medible y cuyo resultado se puede reproducir repitiendo el experimento siempre en condiciones similares, llegamos a la conclusion de que existen muchos observables de tiempo. Un ejemplo importante, y aparentemente sencillo, del que hablaremos, es el tiempo de llegada de una particula a un detector. En los laboratorios se pueden preparar particulas en condiciones similares, lanzarlas contra un detector y obtener la distribucion de las llegadas. Estas llegadas se ajustan a patrones cuanticos, ya que el perfil de la distribucion muestra interferencias y difraccion en el tiempo. Tanto el concepto tiempo de llegada como la difraccion en el tiempo se llevan estudiando durante decadas, y sin embargo, al comenzar esta Tesis quedaban todavia muchas cuestiones pendientes de resolver, en particular, como construir operadores de Tiempo de llegada, y como explicar y observar la DET. Otro operador temporal, quizas el mas importante y cotidiano es el tiempo del reloj . Los relojes cuanticos son sistemas que se desplazan periodicamente con el tiempo. Podemos decir que hora es observando la posicion de la manecilla del reloj, y en general, el tiempo que ha transcurrido desde cualquier instante, pero las observaciones son tan aleatorias como el tiempo de llegada. En la practica, la hora oficial que se produce en los Institutos de metrologia no se genera con relojes cuanticos. Lo que de verdad se intenta, es establecer cada vez con mayor precision la frecuencia de una transicion entre dos niveles del atomo de Cesio y reproducirla en osciladores de cuarzo. El segundo se define simplemente contando un numero previamente acordado de estas oscilaciones. Para definir un tiempo cada vez mas preciso se ha recurrido a atomos cada vez mas lentos, pero esta estrategia tiene limites, como veremos: los limites impuestos por la mecanica cuantica a la precision que se puede alcanzar con atomos lentos es otro de los temas centrales de la Tesis. Volviendo al teorema de Pauli, su efecto paralizante se extendio incluso a duraciones tales como el TDP de una particula en una region del espacio, cuyo operador si es auto-adjunto y que por lo tanto no esta afectado por el teorema. No obstante, aunque la definicion y medicion del TDP en sistemas clasicos esta resuelta, no podemos afirmar lo mismo del caso cuantico, por la la ausencia de trayectorias clasicas. En esta Tesis hemos propuesto un metodo operacional para construir la distribucion de probabilidad de este operador a partir de mediciones experimentales. En resumen, el objetivo principal de la Tesis es encontrar respuestas a cuestiones fundamentales que ayuden a integrar los observables temporales en la mecanica cuantica y hemos establecido vinculos con experimentos y con la tecnologia de tiempo-frecuencia
La presente tesis enfrenta la problemática de establecer si es posible construir una versión de la mecánica cuántica (MC) en espacios de Hilbert que trate al espacio y al tiempo en pie de igualdad, y considere a la simetría de Lorentz de manera explícita en teorías relativistas. La relevancia actual de este problema, intrínseco al área de fundamentos de la mecánica cuántica, radica en las potenciales implicancias para otras áreas como la información, la computación y la gravedad cuántica, y, sobre todo, para el reciente conjunto de ideas que yace en la intersección de las mismas. En la tesis se construye progresivamente un formalismo con las características deseadas, proporcionando así una respuesta afirmativa a la pregunta inicial. La construcción comienza con la generalización del formalismo de Page y Wootters al caso de partículas relativistas y luego al de varias partículas. Esto conlleva a introducir espacios de Hilbert ampliados a través de álgebras que tratan al tiempo y al espacio en pie de igualdad. A través del concepto de operador acción, una versión cuántica de la acción clásica, se establece la existencia de una correspondencia entre los espacios de Hilbert ampliados y la MC convencional. Se demuestra a su vez que la suma sobre historias de la formulación de Feynman adquiere un nuevo significado en estos espacios. Finalmente, se combinan todos los resultados anteriores en una discusión sobre las deficiencias del espacio de fases clásico para abarcar explícitamente simetrías del espacio-tiempo, y sobre como estas son heredadas por la MC, afectando incluso a su formulación ampliada. Se propone entonces una versión aumentada de la formulación Hamiltoniana clásica que involucra corchetes de Poisson simétricos en espacio-tiempo para campos de materia y corchetes de Poisson asociados a las posibles foliaciones del espacio-tiempo. Esta formulación clásica permite obtener ecuaciones de movimiento invariantes en el espacio de fase. Su cuantización lleva directamente a los espacios de Hilbert ampliados, dónde además la foliación es cuántica y la simetría de Lorentz explícita. Condicionando con respecto a autoestados de foliación, en analogía con el formalismo de Page y Wootters, se recupera la correspondencia con la MC convencional. Finalmente, se discuten las novedades introducidas por el formalismo, y su potencial para proporcionar nuevas intuiciones de carácter teórico, informacional y computacional, y para introducir teorías físicas que no encuentran una correspondencia con la MC usual.
El Objetivo general de éste trabajo es reformular la fundamentación estadística de la mecánica cuántica tomando como elementos las "propiedades físicas" en lugar de las magnitudes en general. Procuramos demostrar cuánto más sencillos de demostrar y directamente interpretables aparecen muchos resultados de la mayor importancia, sin que se pierda generalidad. Por supuesto tomamos como punto de referencia el formidable libro de J. von Neumann: "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik", tan lleno de ideas aún no suficientemente explotadas y que es el cimiento obligado de cuanto edificio teórico se ha pretendido levantar en la Mecánica Cuántica. Además de la reformulación antes mencionada, hemos conseguido varios resultados particulares nuevos; entre otros la demostración de que el método Koopman (7) de tratar sistemas dinámicos puede aplicarse a la estadística cuántica, y por lo tanto valen también para ella ciertas demostraciones del teorema ergódico. Hacemos también una verificación del mismo mediante la comparación de una sucesión real de mediciones con una "cadena de Markov" y damos la formulación cuántica del concepto de "transitividad métrica". Hemos también simplificado la demostración de algunos teoremas y en especial generalizado para espectros continuos el referente a la ley de distribución de Maxwell. Exponemos también, aunque sin detalles, dos ideas que nos parecen de gran importancia; la relación topológica entre espacios "complementarios" (coordenadas e impulsos por ejemplo), que aunque implícita en numerosos trabajos no hemos visto nunca enunciada claramente, y la distinción entre el tiempo del sistema y del observador, que permite recobrar la simetría relativista. Nueva es también la comparación entre la lógica propia de las proyecciones, la lógica usual y la de tres valores, y además el concepto de "conjunción estadística" que exponemos en un apéndice. Teníamos también intención de utilizar el concepto estadístico de función característica de una distribución, pero encontramos que ese tema ya había sido tratado, justamente en otro trabajo de tesis, por Arnous (1), en 1947. De todos modos hemos agregado un pequeño apéndice comentando su contenido. En cambio hemos renunciado a la inclusión de un resumen de la parte matemática, pues su volumen estaría fuera de proporción con el resto del trabajo y porque existen obras sumamente claras y apropiadas para referencia, como el capítulo correspondiente del libro de v. Neumann y otras obras que se citan en una bibliografía especial. Aunque por comodidad nuestras fórmulas se refieren concretamente al espacio de Hilbert de las funciones de la clase L² (cuadrado del módulo sumable), valen siempre, con obvias modificaciones, para otros espacios de uso común. Los teoremas que daremos por conocidos pueden encontrarse en su mayor parte en el Capítulo II del libro de v. Neumann, pero en general trataremos de dar referencias explícitas.
[ES] El boom de internet ha marcado el comienzo de la era digital y ésta ha traído consigo un desarrollo espectacular de las tecnologías de la información y de las comunicaciones, entre las que la criptografía es la reina. La criptografía de clave pública actual está basada principalmente en dos problemas que la comunidad criptográfica asume como difíciles: la factorización y el logaritmo discreto. Sin embargo, si se llegase a construir un computador cuántico lo suficientemente potente, esta dificultad no sería tal. Así pues, la computación cuántica pondría en un grave aprieto a la criptografía moderna y, puesto que la trayectoria reciente del campo sugiere que ésta podría convertirse en una realidad en un futuro no muy lejano, la comunidad criptográfica ha comenzado a explorar otras opciones para estar lista en caso de que se logre construir un computador cuántico eficiente. Esto ha dado un im- pulso a lo que se conoce como criptografía post-cuántica, aquella cuya dificultad no se vería afectada por este nuevo paradigma de computación y que está basada en los llamados problemas resistentes a la computación cuántica. La criptografía post-cuántica ha suscitado mucho interés recientemente y actualmente está en proceso de estandarización, por lo que en el momento de iniciar esta tesis resultaba relevante estudiar problemas supuestamente resistentes al computador cuántico. La parte central de esta tesis es el análisis de la dificultad del problema de los subespacios ocultos (HSP por sus siglas en inglés) y del problema de los subespacios ocultos con ruido (NHSP), dos problemas resistentes al computador cuántico según sus autores. Además de la relevancia que su supuesta resistencia a la computación cuántica les confiere, estos dos problemas son también importantes porque en su dificultad se sustenta la seguridad de las dos versiones del primer esquema de dinero cuántico de clave pública que cuenta con una prueba de seguridad. Este primer esquema es el de Aaronson-Christiano, que implementa dinero cuántico — un tipo de dinero que explota las leyes de la mecánica cuántica para crear dinero infalsificable — que cualquiera puede verificar. Los resultados obtenidos acerca de la dificultad del HSP y del NHSP tienen un impacto directo sobre la seguridad del esquema de Aaronson-Christiano, lo cual nos motivó a centrar esta tesis en estos dos problemas. El Capítulo 3 contiene nuestros resultados acerca del problema de los subespacios ocultos y está fundamentalmente basado en nuestro trabajo [Conde Pena et al.,2015]. Los autores del HSP lo definieron originalmente sobre el cuerpo binario, pero nosotros extendemos la definición a cualquier otro cuerpo finito de orden primo, siempre considerando que la instanciación es la que los autores proponen. Después de modelar el HSP con un sistema de ecuaciones con buenas propiedades, usamos técnicas de criptoanálisis algebraico para explorar el sistema en profundidad. Para el HSP sobre cualquier cuerpo que no sea el binario diseñamos un algoritmo que resuelve de manera eficiente instancias que satisfacen una cierta condición. Utilizando técnicas distintas, construimos un algoritmo heurístico, sustentado por argumentos teóricos, que resuelve eficientemente instancias del HSP sobre el cuerpo binario. Ambos algo-ritmos comprometen la dificultad del HSP siempre que las instancias del problema sean escogidas como Aaronson-Christiano proponen. Como consecuencia, nuestros algoritmos vulneran la seguridad de la versión del esquema sin ruido. El capítulo 4 contiene nuestros resultados acerca del problema de los subespacios ocultos con ruido y está fundamentalmente basado en nuestro trabajo [Conde Pena et al., 2018]. Al igual que con el HSP, extendemos la definición del NHSP a cualquier otro cuerpo de orden primo y consideramos instancias generadas como especifi- can Aaronson-Christiano. Mostramos que el NHSP se puede reducir al HSP sobre cualquier cuerpo primo que no sea el binario para ciertas instancias, mientras que el NHSP sobre el cuerpo binario se puede resolver con una probabilidad mayor de la asumida por los autores en la conjetura sobre la que la seguridad de su esquema con ruido se sustenta. Aunque nuestros resultados se obtienen desde un punto de vista puramente no cuántico, durante el desarrollo de esta tesis otro autor demostró que existe una reducción cuántica del NHSP al HSP también en el caso binario. Por tanto, la dificultad del NHSP y la seguridad del esquema de Aaronson-Christiano con ruido se han visto comprometidas por nuestros descubrimientos acerca del HSP.
Quiero agradecer a mis padres, Antonio y Noelia, por su amor, paciencia y constante aliento.Su apoyo ha sido la base que me ha permitido embarcarme en este viaje académico.Gracias por brindarme las herramientas necesarias para alcanzar mis metas, por forjar en mi sus valores.Cada logro alcanzado es también su triunfo, y por ello, les estoy eternamente agradecida.A mi hermano Jesús.Tu presencia ha sido un recordatorio constante de la importancia de la familia en cada logro.Gracias por ser mi consejero y mi amigo, y por mostrarme que la vida es de los valientes con tu ejemplo, mis logros son tuyos hermano.A Ricardo, le dedico un agradecimiento especial.Tu amor y comprensión han sido mi refugio en los momentos desafiantes.Gracias por caminar a mi lado durante esta travesía académica, por celebrar mis triunfos y sostenerme en las derrotas.Para Miguel.Tu sabiduría y mentoría han sido fundamentales en cada etapa de esta investigación.Gracias no sólo por ser un asesor si no un amigo.Gracias por tu paciencia.Este logro no habría sido posible sin tu apoyo constante.Estoy agradecida por el privilegio de aprender de ti.A José Inés.Tu orientación y colaboración con este proyecto han sido invaluables.Gracias por tu compromiso con mi proyecto y tu disposición para compartir tus conocimientos.A CONAHCYT.Agradezco sinceramente el apoyo financiero brindado a través de su programa de becas.Su contribución ha sido esencial para hacer realidad este proyecto de investigación.Y a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron a este proyecto, ya sea con su orientación, o su apoyo moral, les estoy agradecida.Este logro no habría sido posible sin el respaldo de cada uno de ustedes. III Resumen.Esta tesis presenta una investigación sobre las distribuciones de trabajo analizando sistemas como el oscilador armónico y el oscilador cuártico a nivel tanto clásico como cuántico perturbados, explorando su comportamiento fuera de equilibrio mediante un cambio súbito o instantáneo de un parámetro de control (quench).Para llevar a cabo este análisis se emplean y aplican métodos numéricos y estadísticos que permiten analizar la evolución temporal de estos sistemas, proporcionando una visión detallada de la redistribución de energía y del trabajo en condiciones fuera del equilibrio.Utilizando algunas herramientas útiles para el estudio de estos sistemas, como son las relaciones de fluctuación, y las distribuciones de trabajo tanto a nivel clásico como cuántico.Posteriormente, se introduce el estudio de la distribución de trabajo de forma detallada en los sistemas armónico y cuártico llevados lejos del equilibrio mediante un protocolo o quench, tanto en el contexto clásico como cuántico empleando métodos numéricos para simular la dinámica temporal del sistema y de esta forma analizar la redistribución de la energía después del quench, enfrentando problemas tales como la convergencia en el truncamiento de la base de Fock para el caso cuántico.Este análisis revela sutilezas fundamentales en la redistribución de energía destacando las diferencias clave entre los regímenes clásico y cuántico, y proporcionando una base para el estudio de sistemas más complejos.Los resultados obtenidos en esta investigación contribuyen al entendimiento de la correspondencia clásico-cuántica de los sistemas fuera de equilibrio.Por tanto esta tesis propone un punto de partida para futuras investigaciones en el campo de la física fuera del equilibrio de sistemas interactuantes. IV Capítulo 1Introducción.El objetivo fundamental de la termodinámica clásica es describir las propiedades de un sistema cuando este experimenta un cambio de estado debido a la interacción con su entorno [1].Estas interacciones implican el intercambio de diversas formas de energía, como calor, trabajo y materia, así como variaciones en la energía interna y la entropía del sistema.El cambio de estado ocurre entre estados de equilibrio, en los cuales las variables termodinámicas no varían con el tiempo.Formalmente, un estado de equilibrio se define como aquel en el que el promedio temporal de las variables macroscópicas del sistema permanece constante, según lo establece el postulado de equilibrio [2].Un sistema aislado, que no interactúa con su entorno, alcanzará una condición que no cambiará con el tiempo.Sin embargo, un sistema puede ser modificado para cambiar de un estado a otro a través de un proceso termodinámico, que se puede visualizar como una trayectoria o curva en el espacio de estados termodinámicos.Si la curva es continua, cada punto representa un estado de equilibrio del sistema, y el proceso se considera cuasiestático.Un proceso se denomina reversible si su dirección puede invertirse mediante un cambio infinitesimal en alguna propiedad del entorno, como la presión o la temperatura.Durante un proceso reversible, el sistema y su entorno permanecen en equilibrio, y no hay fricción ni otras formas de disipación.Sin embargo, en la naturaleza, todos los procesos son irreversibles, es decir, ocurren fuera del equilibrio.Los procesos reversibles son ideales y deben ser cuasiestáticos para mantener el equilibrio.No obstante, un proceso cuasiestático no es necesariamente reversible.Por ejemplo, si se lleva a cabo en presencia de fricción, aúnque sea lento, habrá pérdida de energía en forma de calor [2].Las partículas desde un punto de vista clásico obedecen las ecuaciones de movimiento de Hamilton.Estas ecuaciones son deterministas y reversibles en el tiempo 1 , lo que significa que si se conocen las condiciones iniciales del sistema (posiciones y velocidades) y las fuerzas que actúan sobre él, es posible predecir su evolución a todo tiempo [4].En un sistema clásico, el estado del sistema se describe mediante un conjunto de variables de posición y momento que evolucionan en el tiempo según las ecuaciones de movimiento de Hamilton [5].Estas ecuaciones deterministas dictan la dinámica del sistema en un espacio de fases continuo, donde la evolución temporal es totalmente predecible si se conocen las condiciones iniciales [5].