In Kapitel 1. ist ein Projektionsoperatorschema zur Darstellung linearer Operatoren betrachtet. Mit Hilfe seiner mathematischen Grundstruktur lassen sich verschiedene Darstellungen gewinnen. Eine ist die 'minimale' Darstellung, die nur so viele Projektoren benötigt, wie es unbekannte Matrixelemente des betreffenden Operators zu ermitteln gilt, während sie ansonsten fast keine Einschränkungen fordert - daher auch ihr Name. Die Anwendung dieser Darstellung für die meßtechnische Rekonstruktion von Dichteoperatoren steht im Vordergrund der Betrachtungen. Also ist geprüft worden, welche spezielle Formulierung der Minimaldarstellung die größte Toleranz gegenüber Meßfehlern hat und wie die Minimaldarstellung redundant erweitert werden kann, um solche Fehler durch zusätzliche Messungen zu korrigieren. Eine zweite betrachtete Darstellung ist die 'Operatorbasisdarstellung', deren Struktur durch ihren Namen im wesentlichen erklärt ist und die vor allem ansprechende mathematische Eigenschaften aufweist. Was die Seite der meßtechnischen Operatorrekonstruktionen angeht, ist sie in der Minimaldarstellung enthalten also von keinem eigenen Interesse. Schließlich ist die Übersetzung der Minimaldarstellung in ein quantenoptisches Gedankenexperiment vorgenommen, welches zu seiner Durchführung die Verfügbarkeit von Fockzustandslinearkombinationen voraussetzt. Deswegen wird eine experimentelle Umsetzung diese konzeptionell einfachen Schemas voraussichtlich noch ein wenig auf sich warten lassen. Von der Grundstruktur des zugrundeliegenden Projektionsoperatorschemas herrührend haben alle vorgestellten Darstellungen gemeinsam, daß sie nicht rekursiv aufgebaut sind, sondern vielmehr die Beschränkung auf jene Unterräume erlauben, an deren Betrachtung einem gelegen ist. Es wird interessant sein zu sehen, welche weiteren experimentell verwertbaren Meßvorschläge aus dem allgemeinen Projektionsoperatorschema und seinen Darstellungen zu gewinnen sein werden. In Kapitel 2. wird ein Schema zur Synthese von Fockzuständen freilaufender Moden vorgestellt. Die meisten bisherigen Ideen zur Fockzustandserzeugung behandeln hierfür Resonatoren. Demgegenüber haben freilaufende Fockzustände weniger Wechselwirkungen mit Materie, können von Ort zu Ort weitergeleitet werden und unterliegen den für Resonatoren üblichen Frequenzbeschränkungen nicht. Allerdings sind weder die eine noch die andere Sorte Fockzustände bisher erzeugt worden, wenn man von der kontrollierten Erzeugung von Einphoton-Fockzuständen bei spontaner Down-Conversion absieht. Der Versuch, einen hochbesetzten Fockzustand auf direktem Wege - mit Hilfe hoher Nichtlinearitäten (Mehrphotonenprozesse) - zu erzeugen, ist nicht vielversprechend. Also wird vorgeschlagen, auf dem Vorhandenen aufzubauen: die kontrolliert erzeugten Einphoton-Fockzuständen sollen zur Synthese höher besetzter Zustände genutzt werden. Die Benutzung passiver Mischer ist hierfür naheliegend und führt zur Betrachtung sogenannter N-Ports. Der optimale Aufbau eines solchen N-Ports wird bestimmt und mit Blick auf die auftretenden Verluste analysiert. Diese Verluste sind unvermeidbar und erheblich - aber vermutlich tragbar, wenn man nicht zu hoch besetzte Fockzustände erzeugen möchte. Vielleicht entpuppt sich also diese oder eine darauf aufbauende Idee als Schlüssel zur Gewinnung von Fockzuständen freilaufender Moden. Kapitel 3. und 4. sind thematisch dadurch verknüpft, daß beide den quantenmechanischen Ortsmeßprozeß behandeln. Kapitel 3. beantwortet einige aus einem Experiment erwachsene Fragen nach der Selbstinterferenz spontan emittierten Lichts sehr ausgedehnter Atome. Die experimentell gefundenen Interferenzstrukturen spontan emittierten Lichts sind damit nicht erklärt. Die vermuteten Selbstinterferenzen sind aber prinzipiell unmöglich, womit wenigstens gezeigt ist, daß die dem betreffenden Experiment beigelegte Deutung falsch ist: So ist immerhin klar, in welcher Richtung man nicht weiterzusuchen braucht. Da die experimentelle Situation leider ein wenig unübersichtlich ist, scheint es angeraten, die Ergebnisse der angestrebten Nachfolgeexperimente abzuwarten, um die Herkunft der auftretenden Interferenzen abschließend zu klären. Kapitel 4. gibt nicht nur schon Gemessenes zum Verlust der atomaren Kohärenz in Atomstrahlinterferometern durch spontane Emission - ganz wie im Kapitel 3. - wieder, sondern vertieft unser Verstehen der Abläufe und Mechanismen. Eine elegante und zugleich klare und einfache Formulierung gelingt mit Hilfe des Dichtoperatorformalismus. Sie erlaubt zwanglos und in großer Allgemeinheit das Zustandekommen der Kohärenzverluste zu interpretieren, wozu verschiedene Betrachtungsstandpunkte eingenommen werden. Einerseits wird die Dekohärenz als Phasenauswaschung und somit ganz allgemein behandelt, andererseits wird sie durch eine Rückstoßdriftverschmierung und notwendigerweise in weniger allgemeinem Rahmen beschrieben. Während ersterer auf die Beschreibung mancher Details verzichtet, erlaubt der zweite Standpunkt, alle Veränderungen der Dichtematrix des Atoms - bei eingeschränktem Gültigkeitsbereich - zu berücksichtigen. Eine weitere qualitative Beschreibung mit Hilfe des Komplementaritätsprinzips erlaubt die Ergebnisse zu interpretieren und schafft dabei auch die thematische Anknüpfung an das vorhergehende 3. Kapitel. Ohne Übertreibung darf gesagt werden, daß der Dichteoperatorformalismus dem Verständnis der Sache sehr hilft. Bleibt zu hoffen, daß die Prognosen zu bedingten Interferenzmustern - aus Kapitel 4. - bald experimentell bestätigt werden.
In Kapitel 1. ist ein Projektionsoperatorschema zur Darstellung linearer Operatoren betrachtet. Mit Hilfe seiner mathematischen Grundstruktur lassen sich verschiedene Darstellungen gewinnen. Eine ist die 'minimale' Darstellung, die nur so viele Projektoren benötigt, wie es unbekannte Matrixelemente des betreffenden Operators zu ermitteln gilt, während sie ansonsten fast keine Einschränkungen fordert - daher auch ihr Name. Die Anwendung dieser Darstellung für die meßtechnische Rekonstruktion von Dichteoperatoren steht im Vordergrund der Betrachtungen. Also ist geprüft worden, welche spezielle Formulierung der Minimaldarstellung die größte Toleranz gegenüber Meßfehlern hat und wie die Minimaldarstellung redundant erweitert werden kann, um solche Fehler durch zusätzliche Messungen zu korrigieren. Eine zweite betrachtete Darstellung ist die 'Operatorbasisdarstellung', deren Struktur durch ihren Namen im wesentlichen erklärt ist und die vor allem ansprechende mathematische Eigenschaften aufweist. Was die Seite der meßtechnischen Operatorrekonstruktionen angeht, ist sie in der Minimaldarstellung enthalten also von keinem eigenen Interesse. Schließlich ist die Übersetzung der Minimaldarstellung in ein quantenoptisches Gedankenexperiment vorgenommen, welches zu seiner Durchführung die Verfügbarkeit von Fockzustandslinearkombinationen voraussetzt. Deswegen wird eine experimentelle Umsetzung diese konzeptionell einfachen Schemas voraussichtlich noch ein wenig auf sich warten lassen. Von der Grundstruktur des zugrundeliegenden Projektionsoperatorschemas herrührend haben alle vorgestellten Darstellungen gemeinsam, daß sie nicht rekursiv aufgebaut sind, sondern vielmehr die Beschränkung auf jene Unterräume erlauben, an deren Betrachtung einem gelegen ist. Es wird interessant sein zu sehen, welche weiteren experimentell verwertbaren Meßvorschläge aus dem allgemeinen Projektionsoperatorschema und seinen Darstellungen zu gewinnen sein werden. In Kapitel 2. wird ein Schema zur Synthese von Fockzuständen freilaufender Moden vorgestellt. Die meisten bisherigen Ideen zur Fockzustandserzeugung behandeln hierfür Resonatoren. Demgegenüber haben freilaufende Fockzustände weniger Wechselwirkungen mit Materie, können von Ort zu Ort weitergeleitet werden und unterliegen den für Resonatoren üblichen Frequenzbeschränkungen nicht. Allerdings sind weder die eine noch die andere Sorte Fockzustände bisher erzeugt worden, wenn man von der kontrollierten Erzeugung von Einphoton-Fockzuständen bei spontaner Down-Conversion absieht. Der Versuch, einen hochbesetzten Fockzustand auf direktem Wege - mit Hilfe hoher Nichtlinearitäten (Mehrphotonenprozesse) - zu erzeugen, ist nicht vielversprechend. Also wird vorgeschlagen, auf dem Vorhandenen aufzubauen: die kontrolliert erzeugten Einphoton-Fockzuständen sollen zur Synthese höher besetzter Zustände genutzt werden. Die Benutzung passiver Mischer ist hierfür naheliegend und führt zur Betrachtung sogenannter N-Ports. Der optimale Aufbau eines solchen N-Ports wird bestimmt und mit Blick auf die auftretenden Verluste analysiert. Diese Verluste sind unvermeidbar und erheblich - aber vermutlich tragbar, wenn man nicht zu hoch besetzte Fockzustände erzeugen möchte. Vielleicht entpuppt sich also diese oder eine darauf aufbauende Idee als Schlüssel zur Gewinnung von Fockzuständen freilaufender Moden. Kapitel 3. und 4. sind thematisch dadurch verknüpft, daß beide den quantenmechanischen Ortsmeßprozeß behandeln. Kapitel 3. beantwortet einige aus einem Experiment erwachsene Fragen nach der Selbstinterferenz spontan emittierten Lichts sehr ausgedehnter Atome. Die experimentell gefundenen Interferenzstrukturen spontan emittierten Lichts sind damit nicht erklärt. Die vermuteten Selbstinterferenzen sind aber prinzipiell unmöglich, womit wenigstens gezeigt ist, daß die dem betreffenden Experiment beigelegte Deutung falsch ist: So ist immerhin klar, in welcher Richtung man nicht weiterzusuchen braucht. Da die experimentelle Situation leider ein wenig unübersichtlich ist, scheint es angeraten, die Ergebnisse der angestrebten Nachfolgeexperimente abzuwarten, um die Herkunft der auftretenden Interferenzen abschließend zu klären. Kapitel 4. gibt nicht nur schon Gemessenes zum Verlust der atomaren Kohärenz in Atomstrahlinterferometern durch spontane Emission - ganz wie im Kapitel 3. - wieder, sondern vertieft unser Verstehen der Abläufe und Mechanismen. Eine elegante und zugleich klare und einfache Formulierung gelingt mit Hilfe des Dichtoperatorformalismus. Sie erlaubt zwanglos und in großer Allgemeinheit das Zustandekommen der Kohärenzverluste zu interpretieren, wozu verschiedene Betrachtungsstandpunkte eingenommen werden. Einerseits wird die Dekohärenz als Phasenauswaschung und somit ganz allgemein behandelt, andererseits wird sie durch eine Rückstoßdriftverschmierung und notwendigerweise in weniger allgemeinem Rahmen beschrieben. Während ersterer auf die Beschreibung mancher Details verzichtet, erlaubt der zweite Standpunkt, alle Veränderungen der Dichtematrix des Atoms - bei eingeschränktem Gültigkeitsbereich - zu berücksichtigen. Eine weitere qualitative Beschreibung mit Hilfe des Komplementaritätsprinzips erlaubt die Ergebnisse zu interpretieren und schafft dabei auch die thematische Anknüpfung an das vorhergehende 3. Kapitel. Ohne Übertreibung darf gesagt werden, daß der Dichteoperatorformalismus dem Verständnis der Sache sehr hilft. Bleibt zu hoffen, daß die Prognosen zu bedingten Interferenzmustern - aus Kapitel 4. - bald experimentell bestätigt werden.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.
Die übliche Deutung der Quantentheorie ist selbstkonsistent, enthält aber Annahmen, die nicht experimentell überprüft werden können, wie z. B. daß die vollständigst mögliche Beschreibung eines individuellen Systems durch eine Wellenfunktion erfolgt, die nur den wahrscheinlichen Ausgang tatsächlicher Messungen festlegt. Ob diese Annahme korrekt ist, kann nur durch den Versuch überprüft werden, eine andere Interpretation der Quantentheorie durch derzeit „verborgene“ Variable zu finden, die im Prinzip das exakte Verhalten eines individuellen Systems bestimmen, aber in der Praxis bei den heute möglichen Messungen herausgemittelt werden. In dieser und einer folgenden Arbeit soll eine Deutung der Quantentheorie durch derartige „verborgene Variable“ vorgeschlagen werden. Es zeigt sich, daß die hier vorgeschlagene Deutung zu genau denselben Ergebnissen für alle physikalischen Prozesse führt wie die übliche Deutung, sofern die mathematische Theorie ihre allgemeine Form beibehält. Dennoch führt die vorgeschlagene Deutung auf ein allgemeineres Begriffssystem als die übliche Deutung, da sie eine präzise und kontinuierliche Beschreibung aller Prozesse sogar auf dem Quantenniveau erlaubt. Das erweiterte Begriffssystem ermöglicht allgemeinere mathematische Formulierungen der Theorie als die übliche Deutung. Die gebräuchliche mathematische Formulierung scheint aber auf unlösbare Schwierigkeiten zu führen, wenn sie auf kleinere Abstände als 10−13 cm extrapoliert wird [A1]. Es wäre möglich, daß die hier vorgeschlagene Deutung zur Lösung dieser Schwierigkeiten benötigt wird. In jedem Fall beweist die bloße Möglichkeit einer derartigen Interpretation, daß eine exakte, rationale und objektive Beschreibung individueller Systeme auf dem Quantenniveau nicht notwendigerweise unmöglich ist.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.