Résumé. — Dans un article précédent, nous avons étudié le mouvement d'une particule brownienne (masse M) dans un fluide quantique (particules de masse m telle que m /M = γ² <<1). Nous avons dérivé une équation générale de transport pour la fonction de distribution des moments φ(P) de la particule lourde. Cette équation se présente comme un développement formel en série du paramètre y et se ramène en première approximation à l'équation de Fokker-Planck. Ici nous analysons plus particulièrement le problème de la convergence de cette équation de transport générale. L'examen des premières corrections au terme de Fokker-Planck met en évidence des termes d'ordre [formule] où kTq représente l'énergie de localisation de la particule lourde due aux interactions avec le fluide. Il en résulte que pour des températures T telles que T < γ² Tq la convergence de l'équation de base n'est plus assurée et la théorie usuelle du mouvement Brownien n'est plus valable.
Résumé. — Dans un article précédent, nous avons étudié le mouvement d'une particule brownienne (masse M) dans un fluide quantique (particules de masse m telle que m /M = γ² <<1). Nous avons dérivé une équation générale de transport pour la fonction de distribution des moments φ(P) de la particule lourde. Cette équation se présente comme un développement formel en série du paramètre y et se ramène en première approximation à l'équation de Fokker-Planck. Ici nous analysons plus particulièrement le problème de la convergence de cette équation de transport générale. L'examen des premières corrections au terme de Fokker-Planck met en évidence des termes d'ordre [formule] où kTq représente l'énergie de localisation de la particule lourde due aux interactions avec le fluide. Il en résulte que pour des températures T telles que T < γ² Tq la convergence de l'équation de base n'est plus assurée et la théorie usuelle du mouvement Brownien n'est plus valable.
Thermalisation et relaxation des systèmes quantiques Cette thèse traite la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts couplés à un réservoir externe. Un modèle spécifique exactement soluble, le modèle sphérique, sert comme exemple paradigmatique. Ce modèle se résout exactement en toute dimension spatiale et pour des interactions très générales. Malgré sa simplicité technique, ce modèle est intéressant car ni son comportement critique d’équilibre ni celui hors équilibre est du genre champ moyen. La présentation débute avec une revue sur la mécanique statistique des transitions de phases classique et quantique, et sur les propriétés du modèle sphérique. Sa dynamique quantique ne se décrit point à l’aide d’une équation de Langevin phénoménologique. Une description plus complète à l’aide de la théorie de l’équation de Lindblad est nécessaire. Les équations de Lindblad décrivent la relaxation d’un système quantique vers son état d’équilibre. En tant que premier exemple, le diagramme de phases dynamique d’un seul spin sphérique quantique est étudié. Réinterprétant cette solution en tant qu’une approximation champ moyen d’un problème de N corps, le diagramme de phases quantique est établi et un effet « congeler en réchauffant » quantique est démontré. Ensuite, le formalisme de Lindblad est généralisé au modèle sphérique quantique de N particules: primo, la forme précise de l’équation de Lindblad est obtenue des conditions que (i) l’état quantique d’équilibre exacte est une solution stationnaire de l’équation de Lindblad et (ii) dans le limite classique, l’équation Langevin de mouvement est retrouvée. Secundo, le modèle sphérique permet la réduction exacte du problème de N particules à une seule équation intégro-différentielle pour le paramètre sphérique. Tertio, en résolvant pour le comportement asymptotique des temps longs de cette équation, nous démontrons que dans la limite semi-classique, la dynamique quantique effective redevient équivalente à une dynamique classique, à une renormalisation quantique de la température T près. Quarto, pour une trempe quantique profonde dans la phase ordonnée, nous démontrons que la dynamique quantique dépend d’une manière non triviale de la dimension spatiale. L’émergence du comportement d’échelle dynamique et des corrections logarithmiques est discutée en détail. Les outils mathématiques de cette analyse sont des nouveaux résultats sur le comportement asymptotique de certaines fonctions hypergéométriques confluentes en deux variables
Limites de champ moyen en mécanique quantique Cette thèse est consacrée à la dérivation et à l'étude de différents modèles non-linéaires en mécanique quantique. Ces modèles décrivent des systèmes à grand nombre de particules dans l'approximation de champ moyen. Dans une première partie, nous étudions la validité de modèles effectifs décrivant le gaz de bosons dipolaires. Nous montrons que l'état et l'énergie fondamentale, ainsi que la l'évolution temporelle, d'un condensat de Bose-Einstein sont correctement décrits au premier ordre par la théorie de Gross-Pitaevskii. Pour la dynamique, nous montrons que le second ordre est donné par la théorie de Bogoliubov. Nous étudions aussi la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii dipolaire avec un terme de correction quintique prenant en compte les corrections de Lee-Huang-Yang. La seconde partie est consacrée à l'étude de limites semi-classiques pour les grands systèmes fermioniques. Nous nous intéressons d'abord à l'énergie libre d'un gaz de fermions dans la limite semi-classique et nous montrons que celle-ci, ainsi que les états de Gibbs approchés, sont donnés par la théorie de Vlasov à température positive. Nous étudions ensuite l'énergie d'un atome lourd dans la limite non-relativiste où nous calculons le second ordre de son développement, la correction de Scott, pour le modèle de Dirac-Fock.
Corrélations quantiques et transport quantique hors équilibre Cette thèse analyse certains aspects des systèmes quantiques unidimensionnels ouverts, chassés de l'équilibre par l'interaction avec des bains externes ou des appareils de mesure. Pour commencer, nous introduisons le contexte et les outils théoriques nécessaires à cette étude, tels que l'entropie d'intrication, la dynamique de Lindblad, les équations de Langevin et la formulation en espace de phase de la mécanique quantique. Dans un premier temps, nous considérons la dynamique non-équilibre induite par des mesures projectives locales, avec un accent particulier sur l'entropie d'intrication, une sonde théorique puissante pour les corrélations quantiques. Pour une chaîne de fermions sautants, la croissance linéaire typique de l'intrication pour l'état initial de Néel est remplacée par une croissance logarithmique. Comme résultat principal, nous avons trouvé une transition de la loi de volume à la loi de surface pour l'intrication stationnaire. Après, nous généralisons l'hydrodynamique pour les chaînes de particules libres couplées aux bains de Lindblad. Pour les processus de gain-perte inhomogènes à un corps et le déphasage, nous dérivons la dynamique de la fonction de Wigner, décrivant le transport et le comportement hors-équilibre en termes de quasi-particules classiques sans interaction. Ensuite, un cas d'étude de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts est présenté pour deux modèles basés sur un oscillateur harmonique unique dans un champ externe. L'interaction avec l'environnement est spécifiée par les équations de Langevin, contenant un terme de friction déterministe et deux bruits Markoviens, dont les seconds moments sont spécifiés à partir d'un ensemble d'exigences phénoménologiques. Après avoir exprimé la dynamique réduite avec une équation équivalente de Fokker-Plank pour la fonction de Wigner, nous constatons que la positivité complète, ainsi que la relaxation vers l'état d'équilibre, ne sont pas toujours garanties. Enfin, nous nous intéressons à la dynamique conditionnelle sans saut des particules libres couplées aux bains de Lindblad. Pour les cartes dynamiques à préservation gaussienne, la dynamique de non-équilibre sous détection manquée est capturée par une équation différentielle de type Riccati pour la matrice de corrélation, qui donne accès à la probabilité de non-saut et aux distributions des temps d'attente.
Transport stationnaire dans des fluides quantiques de basse dimensionnalité Les fluides quantiques, tels que les condensats de Bose-Einstein ou les superfluides de lumière - deux systèmes d'intérêt dans ce manuscrit - offrent des plateformes fascinantes pour explorer des phénomènes physiques fondamentaux sous des conditions extrêmes. L'un des aspects cruciaux de ces systèmes est leur comportement face à des perturbations, pouvant entraîner des transitions entre différents régimes de transport pour des vitesses critiques bien définies. L'objet de notre étude est donc d'examiner un fluide quantique s'écoulant à une vitesse donnée et rencontrant un obstacle aux paramètres arbitraires. Nous avons développé des modèles intégrant le potentiel non-linéaire d'interaction, permettant de traiter divers systèmes tels que les atomes froids ou les fluides de lumière, et d'aller au-delà des résultats bien connus dans la communauté. Nous avons commencé par explorer les systèmes unidimensionnels, cherchant à établir une carte complète des régimes de transport stationnaires possibles. Notre attention s'est d'abord portée sur le régime superfluide, avec une étude analytique et numérique approfondie de la vitesse critique de superfluidité, montrant une dépendance non-triviale des paramètres du problème. Ce travail a ensuite été étendu aux superfluides de lumière en incluant un traitement systématique des pertes, montrant qu'elles ne modifient pas fondamentalement nos résultats tant qu'elles restent linéaires et homogènes. S'ensuit l'étude d'un autre régime de transport stationnaire à une dimension, à des vitesses supersoniques. Grâce à des méthodes similaires, nous avons mis en lumière une autre vitesse critique, la séparatrice supersonique, et l'avons étudiée analytiquement et numériquement en fonction des paramètres du problème. Cette étude a révélé l'existence d'états ayant une dynamique similaire à celle du régime superfluide, mais à des vitesses supersoniques. Enfin, nous avons exploré la superfluidité dans des systèmes bidimensionnels. Afin d'aller au-delà des résultats préexistants, nous avons développé un modèle tenant compte de la compressibilité du fluide, la non-linéarité du système, et la pénétrabilité de l'obstacle. L'analyse conjointe de notre modèle et des simulations a mis en évidence deux mécanismes distincts pour briser la superfluidité, dépendant de l'amplitude de l'obstacle. Nous avons ensuite réalisé diverses simulations numériques afin d'avoir une vision plus concrète de ces phénomènes, et avons entamé une étude préliminaire sur l'éjection des vortex dans le fluide quantique. En accord qualitatif avec des résultats expérimentaux récents obtenus pour d'autres types d'obstacles, notre modèle simplifié constitue un pas en avant dans l'étude de la superfluidité, avec des implications potentielles pour d'autres plateformes expérimentales, au-delà des atomes froids.
Le monde qui nous entoure est composé de systèmes à nombreuses particules interagissantes, ce qui est essentiel pour comprendre la nature de notre réalité. Tout au long de l'histoire de l'humanité, de nombreux efforts ont été déployés pour atteindre cet objectif, avec des conséquences qui ont eu un impact sur les avancées technologiques qui façonnent notre vie moderne. Dans cette thèse, qui se spécialise dans la physique de la matière condensée, nous cherchons à comprendre les systèmes d'électrons interagissants à la base des propriétés électroniques. Nos efforts se concentrent en particulier sur le calcul de l'énergie totale de l'état fondamental (E0). Le principal obstacle, à savoir les énormes fonctions d'onde à plusieurs corps qui ne peuvent être calculées que pour un petit nombre d'électrons, est surmonté par les théories actuellement disponibles telles que la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT) et la théorie de la perturbation à plusieurs corps (MBPT). Ces théories expriment les observables en termes de quantités plus compactes, telles que la densité de charge et la fonction de Green à une particule (GF). Cependant, les expressions exactes et/ou la densité et la GF elles-mêmes ne sont souvent pas connues. Un exemple important est l’E0, dont l'expression est inconnue en termes de la densité. En revanche, E0 peut être écrit exactement en termes de la GF. Il en va de même pour les fonctions spectrales qui peuvent être mesurées en photoémission et photoémission inverse. Cependant, la GF exacte, qui dépend de la self-energie exacte, est inconnue et le besoin d'approximations à la GF elle-même a un impact significatif sur la qualité des résultats. Néanmoins, le cadre des fonctions de Green bénéficie de l'existence d'approximations puissantes. En particulier, la MBPT suggère une façon de développer la self-energie sous forme de diagrammes ayant une signification physique. Pour les situations qui présentent des effets d'interaction faibles à modérés, la MBPT est souvent considérée comme une méthode systématique à suivre, bien que dans la pratique, des renormalisations, telles que l’écrantage de l'interaction de Coulomb, soient nécessaires. En particulier, même le plus bas ordre d'une expansion de la self-energie en termes de l'interaction de Coulomb écrantée W, qui est l'approximation GW largement utilisée, a été très performant pour le calcul de la partie quasi-particule dans les fonctions spectrales dans des systèmes finis ou étendus. Cependant, l'approximation GW présente certaines lacunes, telles qu'une erreur d'auto-écrantage et une violation de contraintes exactes. De plus, sa bonne performance est limitée à certains matériaux où la force de corrélation se situe dans un régime faible à modéré, tandis que les systèmes fortement corrélés restent inaccessibles à l’approximation GW. Dans cette thèse, nous proposons trois méthodes différentes pour aller au-delà du GW afin d'améliorer le calcul de l’énergie totale de l'état fondamental. La première méthode comprend des corrections de la self-energie en combinant la DFT dépendante du temps (TDDFT) avec la MBPT. Avec ces corrections, la self-energie est toujours approximée. Cependant, nous montrons que la contribution d’échange-corrélation exacte à E0 peut être obtenue exactement en utilisant cette self-energie approximée à condition que les ingrédients soient combinés de manière cohérente. La deuxième méthode se base sur le développement de la self-energie en termes de W. Nous avons étudié la convergence de la MBPT et exploré quel W est le meilleur choix dans ce développement. La troisième méthode tient compte de l'utilisation de contraintes exactes, qui peuvent être utilisées pour ajouter des corrections au-delà de la GW à un coût informatique négligeable. Nos résultats sont illustrés en utilisant le dimère de Hubbard symétrique à un et deux électrons. Nous fournissons un code informatique pour ce projet qui sera disponible en ligne à la fin de la thèse.
Résumé. — L'équation générale de transport pour les systèmes de Fermi normaux obtenue récemment par l'auteur (1), est étudiée dans le cadre d'un modèle faiblement couplé, dans lequel toutes les quantités qui apparaissent dans cette équation sont calculées à l'ordre λ². Le rapport entre ce résultat et la même approximation de l'équation de Landau pour des quasi-particules est analysée dans la limite d'une température nulle. On montre que la situation est entièrement analogue au cas d'équilibre : la fonction de distribution de Winger qui décrit la réponse du système à un champ extérieur peut être décomposée en une partie qui est singulière à la surface de Fermi et qui est proportionnelle à la fonction de distribution de quasi-particule, et une partie régulière qui ne contribue pas au courant électrique.