Cette these concerne la mecanique statistique d'equilibre des systemes coulombiens bidimensionnels. Il s'agit de systemes de particules chargees interagissant par le potentiel de coulomb qui, a deux dimensions, est logarithmique. Nous disposons de resultats connus sur la transition de kosterlitz-thouless entre une phase dielectrique ou les correlations decroissent algebriquement et une phase conductrice ou les correlations decroissent exponentiellement. Nous savons aussi que, pour une valeur precise de la constante de couplage, le systeme est exactement soluble. En etudiant le confinement de ce systeme entre deux murs nous avons mis en evidence un deplacement de la temperature de transition. A la limite d'un systeme coulombien sur une droite nous avons simule numeriquement cette transition. D'autre part nous avons etudie les grandes fluctuations de charge a deux et trois dimensions. A partir de resultats de l'invariance conforme sur la dependance en taille de l'energie libre des systemes critiques, nous avons mis en evidence des caracteres critiques a toutes temperatures des systemes coulombiens bidimensionnels conducteurs. Enfin une etude numerique du passage entre la transition de kosterliz-thouless et une transition liquide vapeur a ete effectuee. Pour toutes les etudes analytiques la resolution exacte de modeles pour une valeur precise de la constante de couplage nous a permis de verifier nos resultats sur des cas precis
Cette these concerne la mecanique statistique d'equilibre des systemes coulombiens bidimensionnels. Il s'agit de systemes de particules chargees interagissant par le potentiel de coulomb qui, a deux dimensions, est logarithmique. Nous disposons de resultats connus sur la transition de kosterlitz-thouless entre une phase dielectrique ou les correlations decroissent algebriquement et une phase conductrice ou les correlations decroissent exponentiellement. Nous savons aussi que, pour une valeur precise de la constante de couplage, le systeme est exactement soluble. En etudiant le confinement de ce systeme entre deux murs nous avons mis en evidence un deplacement de la temperature de transition. A la limite d'un systeme coulombien sur une droite nous avons simule numeriquement cette transition. D'autre part nous avons etudie les grandes fluctuations de charge a deux et trois dimensions. A partir de resultats de l'invariance conforme sur la dependance en taille de l'energie libre des systemes critiques, nous avons mis en evidence des caracteres critiques a toutes temperatures des systemes coulombiens bidimensionnels conducteurs. Enfin une etude numerique du passage entre la transition de kosterliz-thouless et une transition liquide vapeur a ete effectuee. Pour toutes les etudes analytiques la resolution exacte de modeles pour une valeur precise de la constante de couplage nous a permis de verifier nos resultats sur des cas precis
Durant cette thèse, je me suis intéressé à deux thématiques générales qui peuvent être explorées dans des systèmes d atomes froids : d une part, la dynamique hors-équilibre d un système quantique isolé, et d autre part l influence du désordre sur un système fortement corrélé à basse température. Dans un premier temps, nous avons développé une méthode de champ moyen, qui permet de résoudre la dynamique unitaire dans un modèle à géométrie particulière, le réseau complètement connecté. Cette approche permet d établir une correspondance entre la dynamique unitaire du système quantique et des équations du mouvement classique. Nous avons mis à profit cette méthode pour étudier le phénomène de transition dynamique qui se signale, dans des modèles de champ moyen, par une singularité des observables aux temps longs, en fonction des paramètres initiaux ou finaux de la trempe. Nous avons montré l existence d une transition dynamique quantique dans les modèle de Bose-Hubbard, d Ising en champ transverse et le modèle de Jaynes-Cummings. Ces résultats confirment l existence d un lien fort entre la présence d une transition de phase quantique et d une transition dynamique.Dans un second temps, nous avons étudié un modèle de théorie des champs relativiste avec symétrie O(N) afin de comprendre l influence des fluctuations sur ces singularités. À l ordre dominant en grand N, nous avons montré que la transition dynamique s apparente à un phénomène critique. En effet, à la transition dynamique, les fonctions de corrélations suivent une loi d échelle à temps égaux et à temps arbitraires. Il existe également une longueur caractéristique qui diverge à l approche du point de transition. D autre part, il apparaît que le point fixe admet une interprétation en terme de particules sans masse se propageant librement. Enfin, nous avons montré que la dynamique asymptotique au niveau du point fixe s apparente à celle d une trempe d un état symétrique dans la phase de symétrie brisée. Le troisième volet de cette thèse apporte des éléments nouveaux pour la compréhension du diagramme des phases du modèle de Bose-Hubbard en présence de désordre. Pour ce faire,nous avons utilisé et étendu la méthode de la cavité quantique en champ moyen de Ioffe et Mézard, qui doit être utilisée avec la méthode des répliques. De cette manière, il est possible d obtenir des résultats analytiques pour les exposants des lois de probabilité de la susceptibilité.Nos résultats indiquent que dans les différents régimes de la transition de phase de superfluide vers isolant, les lois d échelle conventionnelles sont tantôt applicables, tantôt remplacées par une loi d activation. Enfin, les exposants critiques varient continûment à la transition conventionnelle.
Parmi les méthodes de la théorie du groupe de renormalisation, les développements en epsilon sont basés sur des calculs dans l'espace réciproque et permettent de calculer les exposants critiques associés aux transitions magnétiques du second ordre pour des valeurs non entières de la dimension d'espace. Une interprétation physique naturelle consiste à se demander comment se comporte un système de spins en interaction dans un espace de dimension fractale. Or les structures fractales sont construites par itération d'une cellule génératrice dont les détails sont donc présents à plusieurs échelles ; la question qui se pose alors est de savoir ce qui se passe lorsque l'invariance par translation est remplacée par une invariance d'échelle géométrique. La convergence vers la limite thermodynamique se produit en même temps que le processus d'itération construit la structure. De ce fait, des simulations Monte Carlo fiables de ces transitions de phase n'ont pu être menées à bien que récemment, puisqu'elles nécessitent la simulation de très grandes tailles, lesquelles varient comme des séries géométriques avec l'étape d'itération. C'est en utilisant des algorithmes non locaux dits “d'amas” (Wolff, Swendsen-Wang), capables de réduire le ralentissement critique de manière significative, et des méthodes d'histogrammes pour traiter les données des simulations Monte-Carlo que j'ai tout d'abord réalisé ces études. Il s'avère que le calcul précis des exposants critiques est rendu encore plus difficile par le fait que l'analyse en tailles finies du modèle d'Ising souffre de corrections d'échelle qui peuvent affecter fortement le comportement de certaines grandeurs thermodynamiques, en particulier lorsque la dimension fractale tend vers 1. J'ai montré que ces corrections d'échelle sont en partie liées à la très forte inhomogénéité du réseau sous-jacent (due à l'existence de trous sur plusieurs ordres de grandeurs) et à la concomitance de la construction du fractal avec la convergence vers la limite thermodynamique. Les résultats que j'ai obtenus pour les exposants critiques, ou leurs bornes, sont toujours compatibles avec la relation d'hyperscaling dans laquelle on substitue la dimension de Hausdorff à la dimension d'espace. Le comportement critique en dimension non entière se décrit dans le cadre de l'universalité faible. Cela se manifeste par un désaccord net entre les exposants que j'ai obtenus par les méthodes Monte Carlo et les développements en epsilon. Les exposants critiques ne dépendent pas seulement de la dimension d'espace, des propriétés de symétrie du paramètre d'ordre et de la portée des interactions, mais aussi des propriétés géométriques de la structure fractale : Très récemment des calculs précis d'exposants critiques m'ont permis de montrer que des classes d'universalité différentes sont en général nécessaires pour décrire le comportement du modèle d'Ising sur des fractals de même dimension et de lacunarités différentes. Un tel résultat généralise le concept d'universalité faible proposé par Masuo Suzuki. L'hypothèse d'homogénéité qui sous-tend les lois d'échelle permettant de décrire un comportement critique se dérive par renormalisation. La procédure de renormalisation dans l'espace direct est naturelle dans les fractals, puisqu'elle suit exactement le processus inverse de construction de la structure. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons mené à bien l'étude du modèle d'Ising par une méthode de renormalisation Monte-Carlo sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 ; il s'avère que l'exposant associé à l'une des directions propres peut être calculé avec une très bonne précision et est en accord avec les résultats de l'analyse en tailles finies. En revanche, la convergence est très lente dans l'autre direction, ce qui est lié aux corrections d'échelle mises en évidence lors de cette analyse. La cinétique stochastique associée à la formation des amas construits par l'algorithme de Wolff sous tend la compréhension du phénomène de ralentissement critique. J'ai montré que les distributions des tailles des amas de Wolff ont une propriété d'homogénéité qui fait intervenir l'un des exposants associé à une des directions propres du processus de renormalisation. Par ailleurs, les distributions des tensions de surface des amas vérifient une propriété analogue dans laquelle intervient un nouvel exposant critique. L'étude des fonctions d'autocorrélation m'a permis de calculer précisément les exposants dynamiques de Wolff lorsque la température critique est connue, et d'éclaircir l'évolution du ralentissement critique avec la dimension et la connectivité. Dans le cas de systèmes invariants par translation, l'ordre de la transition ferromagnétique du modèle de Potts est lié au nombre d'états de spin ; le passage du premier au second ordre est attendu pour des dimensions non entières. Par ailleurs, la présence de désordre peut, dans certaines conditions, induire une transition du second ordre à partir d'un système qui en présente une du premier. L'étude du comportement critique du modèle de Potts sur des fractals est donc particulièrement intéressante, puisque deux des paramètres qui le déterminent (dimensionnalité et désordre structurel) sont liés. Avec mon étudiant Pai-Yi Hsiao, nous avons montré que la transition associée au modèle de Potts à trois états sur une structure fractale de dimension voisine de 1, 89 est du second ordre. Les difficultés attendues lorsqu'on augmente le nombre d'états de spins se font déjà nettement sentir : Les corrections d'échelle empêchent de calculer la température critique avec une très bonne précision. Nous n'avons donc pu donner que des bornes pour certains exposants ; nous avons cependant clairement mis en évidence la différence entre les classes d'universalité de Potts à 2 et 3 états. L'étude de la percolation en dimension non entière est liée à la fois à celle du modèle de Potts et aux algorithmes d'amas. Elle est basée sur l'étude des moments de la distribution de taille des amas, ce qui nécessite la localisation de pics en fonction de la probabilité d'occupation. J'ai pu montrer que les corrections d'échelle n'affectent pratiquement pas le comportement des pics avec la taille des structures, et proposé de les interpréter en termes de "seuil effectif".
Étude numérique des systèmes à N corps contraints Cette thèse présente une étude numérique de trois modèles de physique à N corps soumis à des contraintes directes ou indirectes. La présence de contraintes dans un système complexe à plusieurs corps requiert des algorithmes numériques non triviaux pour les étudier. Les deux premiers modèles comportent une forme directe de contrainte locale et sont le modèle de Dimères Quantiques (QDM) de Rokhsar-Kivelson et un modèle de mécanique statistique classique de boucles sans croisement avec des interactions attractives, tous les deux étudiés sur un réseau carré. L'étude de tels modèles contraints a connu un regain d'intérêt récemment avec leur réalisations directes sur des simulateurs quantiques de réseaux d'atomes de Rydberg. Les simulations du modèle classique utilisent l'algorithme Monte Carlo de boucles dirigées (Directed loop algorithm) tandis que le QDM nécessite un nouveau schéma de Monte Carlo quantique basé sur le cadre des expansions en séries stochastiques appelé Sweeping Cluster Algorithm (SCA). Nous présentons une modification du SCA pour rendre les simulations ergodiques à température finie. Notre étude numérique montre l'existence d'une phase critique dans les deux modèles séparée par une transition de phase à température finie vers une phase ordonnée de dimères ou de boucles qui brise spontanément certaines symétries du réseau. Nous montrons que dans le cas où les interactions sont attractives, cette transition de phase est de type Kosterlitz-Thouless et peut être comprise en construisant une théorie des champs de hauteurs. Le diagramme de phase à température finie du QDM présente quant à lui une ré-entrance inhabituelle dans la phase critique. La partie finale de cette thèse traite du rôle des symétries non-abéliennes dans les processus de thermalisation des systèmes quantiques. Nous étudions les états propres de haute énergies d'une chaîne de spins désordonnée avec une symétrie SU(3). Le modèle n'a pas directement de contraintes mais nous effectuons une diagonalisation exacte dans une base contrainte de tableaux de Young en utilisant la symétrie SU(3) complète de ce modèle. En examinant les sondes couramment utilisées pour la thermalisation (statistiques spectrales, distribution des observables locales et entropie d'intrication), nous montrons que le modèle présente un régime non ergodique sur une grande plage de tailles de système pour un désordre fort, contrastant avec la thermalisation rapide observée à faible désordre.
Cette these etudie les phases classiques et quantiques des systemes atomiques ou moleculaires de basse dimension en mettant un accent particulier sur le crossover dimensionnel de une a deux dimensions.La premiere partie de la these est consacree a la description d'un systeme d'atomes froids interagissants avec un potentiel de contact. Plus precisement, nous etudions le de-piegeage dynamique qui, suite a l'extinction rapide d'un reseau optique, s'opere dans un gaz compose de bosons impenetrables dans un guide d'onde atomique lineaire. Nous employons une solution exacte, basee sur une correspondance entre bosons en forte interaction et fermions sans interaction pour deduire l'evolution dynamique quantique exacte. Dans la limite thermodynamique, nous observons l'approche vers un etat stationnaire hors equilibre, caracterise par l'absence d'ordre hors diagonal a longue distance et une visibilite reduite de la distribution en impulsions. Des caracteristiques similaires sont observees dans un systeme de taille finie pour des temps correspondant a la moitie du temps de recurrence, lors desquels nous observons que le systeme approche un etat quasi-stationnaire auquel le systeme s'approche avec une dependance temporelle en loi de puissance.La deuxieme partie de la these analyse l'effet des interactions dipolaires sur l'etat fondamental du systeme. L'inclusion de l'interaction dipole-dipole donne lieu a de nouvelles phases quantiques du systeme unidimensionnel, mais peut egalement entrainer une instabilite transverse.Cette instabilite est tout d'abord analysee dans le regime classique. Nous considerons des particules classiques avec interactions dipolaires, confines sur un anneau par un potentiel harmonique radiale. Les dipoles sont polarises perpendiculairement au plan de confinement. En diminuant le confinement dans la direction radiale, les particules classique montrent une transition entre une chaine simple et une chaine double (en zigzag). Nous montrons que cette transition est faiblement du premier ordre. Nous expliquons que la nature de cette transition est determinee par le couplage entre les modes d'excitation transversaux et axiaux de la chaine des dipoles. Ce resultat est tres different du comportement observe dans les systemes Coulombiens, ou la transition entre la chaine lineaire et la chaine en zigzag est continue et appartient a la classe d'universalite de la transition ferromagnetique. Nos resultats s'appliquent aux systemes dipolaires classiques et aux atomes Rydberg, qui peuvent constituer un banc d'essai pour simuler le comportement critique des aimants couples a des grilles.Dans le regime quantique, nous considerons un systeme des bosons dipolaires sur un reseaux optique, confines par un potentiel harmonique anisotrope. Dans le regime favorisant l'instabilite d'une chaine simple, nous demontrons que le systeme peut etre decrit par un modele de Bose-Hubbard etendu a plusieurs modes couples entre eux, dont les coefficients peuvent etre determines en utilisant une theorie de basse energie. La methode d'integrale de chemin Monte Carlo, la diagonalisation exacte et TEBD sont utilises pour determiner l'etat fondamental de modele de Bose-Hubbard etendu et demontrent que ce modele capture la transition entre la chaine lineaire et la chaine en zigzag.
La presente these est constituee de deux parties relativement distinctes. Dans la premiere, nous nous interessons au couplage de systemes statistiques bidimensionnels. Nous identifions les couplages qui modifient le comportement critique. Les systemes statistiques que nous considerons possedent, dans leur version decouplee, une transtition de phase du second ordre qui est decrite par une theorie des champs conformes. Les exposants critiques de ceux-ci sont donc connus exactement. Parmi les couplages modifiant le comportement critique, nous nous interessons a ceux menant a une nouvelle transition de phase du second ordre et donc a une nouvelle theorie conforme. Nous presentons une methode perturbative qui permet l'extraction des proprietes critiques de systemes identiques couples. Cette methode s'applique egalement, via l'approche dite des repliques, a la version desordonnee des modeles decouples. Les quantites extraites sont egalement evaluees numeriquement a l'aide d'algorithmes originaux d'une grande precision. L'accord entre valeurs perturbatives et numeriques est frappant et confirme la validite de la methode. Certains des calculs sont, a notre connaissance, les plus pousses a avoir ete realise en theorie des champs conformes perturbee. Qui plus est, nous generalisons au passage un resultat majeur du a ludwig qui met en valeur le caractere multifractal des fonctions de correlation des systemes desordonnes. Ce resultat nous permet de confirmer l'approche dite de symetrie de replique aux modeles de spins desordonnes. Dans la seconde partie de la these, nous etudions le modele d'ising defini sur des varietes a bords. Nous introduisons des observables qui possedent une limite bien definie sous renormalisation et qui sont des invariants conformes. Ces objets sont egalement universels. L'etude propose plusieurs problemes ouverts et menera, nous l'esperons, a une meilleure comprehension du modele d'ising et, de facon plus generale, des systemes critiques bidimensionnels.
D ans cette présente thèse de doctorat et dans le but de découvrir le comportement magnétique des matériaux en fonction de di érents paramètres extérieurs, nous avons proposé quelques modèles de spin sur réseaux pour l’étude. Pour ce fait, nous avons donné en détails, dans le premier chapitre, l’origine du magnétisme dans les di érents matériaux et leur comportement en fonction du changement des paramètres. Dans le second chapitre, nous avons mis l’accent sur un phénomène extraordinaire qui se manifeste au niveau des matériaux qui est la transition de phase. Cette dernière n’est qu’un changement d’état subi à cause des modifications au niveau des paramètres. Nous avons cité les di érentes classifications des transitions de phase notamment la théorie d’Ehrenfest et celle de Landau. Nous avons donné un peu d’intérêt à la deuxième classification avec plus de détails. Nous avons présenté aussi les phénomènes tricritiques qui mènent au calcul des di érents exposants critiques. Nous avons expliqué aussi la notion des classes d’universalité auxquelles appartiennent les di érents systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nous avons présenté notre travail de fond. Nous avons défini le modèle à étudier à savoir le modèle de Blume-Emery-Gri ths. nous avons donné un aperçu sur les méthodes qu’on a utilisé à citer la méthode de Monte-Carlo et la méthode (finite size scaling) TMFSS basée sur la matrice de transfert. Ces méthodes ont montré leurs preuves dans plusieurs études antérieures. Le diagramme de phase obtenu, riche avec ses caractéristiques, exhibe une ligne de transition de second ordre. Nous avons justifié la présence des di érentes phases par étude numérique de l’évolution thermique de l’aimantation du système, du moment quadrupolaire et du moment octupolaire. Les résultats sont en accord avec ceux des états fondamentaux. En utilisant la méthode de la matrice de transfert, nous avons étudié le comportement critique du système. Nous avons calculé l’exposant critique pour quelques valeurs des constantes d’interaction. Le quatrième chapitre a été consacré à l’étude des états fondamentaux de deux modèles importants. Le premier est le modèle de Blume-Emery-Gri ths à spin-1. Les interactions sont antiferromagnétiques avec le premier plus proche voisin. Nous avons considéré un système triangulaire avec sa particularité de frustration. Nous avons fait une étude analytique qui nous a donné les énergies des di érentes configurations. Une étude numérique nous a montré les phases les plus stables qu’on a représenté sur un diagramme de phase. Le deuxième modèle était le modele de Blume-Capel à spin-3/2 sur un réseau carré. Nous avons suivi les mêmes étapes d’étude. Comme perspective, il serait intéressant de compléter les deux derniers travaux par des études numériques. Nous prévoyons utiliser les deux méthodes exactes à savoir la méthode de Monte-Carlo et celle de la matrice de transfert. Nous essayerons de calculer les di érents exposants critiques et de déterminer leur classe d’universalité.