Diese Dissertation befaßt sich mit quantenkryptographischen Protokollen, die im Gegensatz zu den vorwiegend verwendeten zweidimensionalen Quanten- systemen (Qubits) allgemeine endlichdimensionale Quantensysteme (Qudits) als Träger der Information zulassen. Hauptgegenstand der Untersuchungen ist dabei die maximal tolerierbare Fehlerrate solcher Protokolle und ihr Ver- halten in Abhängigkeit von der Dimension der Informationsträger. Zu diesem Zweck wird eine Reihe von Konzepten eingeführt, die die Behandlung dieser Fragestellung erlauben. Insbesondere werden konkrete Protokolle vorgestellt, die bis zu einer maximal tolerierbaren Fehlerrate verwendbar sind, und es wird gezeigt, daß eine große Klasse von Protokollen bei höheren Fehler- raten unbrauchbar ist. Es stellt sich unter anderem heraus, daß die maximal tolerierbare Fehlerrate in Zwei-Basis-Protokollen mit steigender Dimension auf bis zu 50% wächst. Neben den bisher genannten Schwerpunkten der Dissertation werden einige Einzelergebnisse auf dem Gebiet der Quanteninformationstheorie aufgeführt, die im Laufe des Promotionsvorhabens erzielt wurden.
Diese Dissertation befaßt sich mit quantenkryptographischen Protokollen, die im Gegensatz zu den vorwiegend verwendeten zweidimensionalen Quanten- systemen (Qubits) allgemeine endlichdimensionale Quantensysteme (Qudits) als Träger der Information zulassen. Hauptgegenstand der Untersuchungen ist dabei die maximal tolerierbare Fehlerrate solcher Protokolle und ihr Ver- halten in Abhängigkeit von der Dimension der Informationsträger. Zu diesem Zweck wird eine Reihe von Konzepten eingeführt, die die Behandlung dieser Fragestellung erlauben. Insbesondere werden konkrete Protokolle vorgestellt, die bis zu einer maximal tolerierbaren Fehlerrate verwendbar sind, und es wird gezeigt, daß eine große Klasse von Protokollen bei höheren Fehler- raten unbrauchbar ist. Es stellt sich unter anderem heraus, daß die maximal tolerierbare Fehlerrate in Zwei-Basis-Protokollen mit steigender Dimension auf bis zu 50% wächst. Neben den bisher genannten Schwerpunkten der Dissertation werden einige Einzelergebnisse auf dem Gebiet der Quanteninformationstheorie aufgeführt, die im Laufe des Promotionsvorhabens erzielt wurden.
Quantenschlusselverteilung erlaubt den Austausch von sicheren Schlusseln basierend auf den Gesetzen der Quantenmechanik. Diese Schlussel werden verwendet, um Nachrichten mithilfe der Vernamchiffre zu kodieren. Unter der Annahme, dass die Theorie der Quantenmechanik korrekt ist und dass der Aufbau korrekt implementiert wird, sind diese kryptografischen Systeme bedingungslos sicher. Bedingungslose Sicherheit bedeutet, dass die Sicherheit nicht von der Rechenleistung und der Angriffsstrategie eines potenziellen Lauschers abhangt. Da die benotigten Qubits als Photonen durch die Glasfaberkabel gesendet werden, ist die Quantenschlusselverteilung aufgrund der Verluste im Kabel leider auf wenige Hundert Kilometer beschrankt. Um dieses Problem zu beheben, wurden Quanten-Repeater eingefuhrt. In der klassischen Telekommunikationstechnik verstarken Repeater das vorhandene Signal; in der Quantentheorie ist jedoch jegliches Kopieren von unbekannten Quantenzustanden durch das no-cloning Theorem verboten. Quanten-Repeater hingegen konnen Verschrankung zwischen Qubits erzeugen, die Hunderte bis Tausende Kilometern entfernt sind. Dabei basieren sie auf fundamentalen Konzepten aus der Quanteninformationstheorie wie Verschrankungstausch und Verschrankungsdestillierung.
Diese Arbeit befasst sich mit zwei Themen aus der Quantenkommunikation: Quantenschlusselverteilung uber weite Strecken mithilfe von Quanten-Repeatern und die Sicherheitsanalyse fur Schlussel im Bereich von endlich vielen Signalen.
Einerseits werden sichere Schlusselraten mithilfe von Quanten-Repeatern fur unendlich viele Signale untersucht. Zu diesem Zweck prasentieren wir Fehlermodelle fur die Komponenten eines Quanten-Repeaters. Wir fuhren eine quantitative Analyse der optimalen sicheren Schlusselraten fur relevante experimentelle Parameter von verschiedenen Implementierungen des Repeaters durch. Unter diesen Implementierungen sind der ursprungliche Quanten-Repeater, der hybride Quanten-Repeater, der Quanten-Repeater bestehend aus atomaren Ensembles und ein Quanten-Repeater basierend auf Fehlerkorrektur-Codes. Wir finden heraus, dass der ursprungliche Quanten-Repeater mehr Gatterfehler als der hybride Quanten-Repeater tolerieren kann und dass der Quanten-Repeater bestehend aus atomaren Ensembles robust gegen realistische Fehler ist. Wir untersuchen auch den Einfluss von unterschiedlichen Destillierungsstrategien (Destillierungsprotokolle und Anzahl der Destillierungsrunden in jedem Zwischenschritt des Quanten-Repeaters) auf den ursprunglichen Quanten-Repeater und konnen quantitative Aussagen uber die Strategien machen, die zu einer maximalen sicheren Schlusselrate fuhren. Wir leiten die Erzeugungsrate fur verschrankte Paare unter Berucksichtigung der klassischen Kommunikationszeit, die fur den Verschrankungstausch und die Verschrankungsdestillierung benotigt wird, her. Des Weiteren analysieren wir, ob verschiedene Destillierungstechniken oder Fehlerkorrektur-Codes von Vorteil bezuglich der sicheren Schlusselrate sind, da der Quanten-Repeater mithilfe von Fehlerkorrektur-Codes weniger klassische Kommunikation braucht. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass ersterer Repeater von Vorteil ist fur die hier betrachtete Parameterregion.
Andererseits ist diese Arbeit der Quantenschlusselverteilung ohne Repeater gewidmet. Wir leiten eine Grenze fur die sichere Schlusselrate fur endlich viele Signale unter der Annahme der allgemeinsten Form von Lauschangriffen (koharente Attacke) her. Bisher ist nicht viel uber den Unterschied von sicheren Schlusselraten unter kollektiven und koharenten Lauschangriffen fur eine endliche Anzahl von Signalen bekannt; aber im Limes von unendlich vielen Signalen existiert eine Aquivalenz. Unsere Resultate deuten allerdings darauf hin, dass das fur endlich viele Signale nicht stimmt.
Diese Dissertation behandelt die Kodierung und Verschickung von Information durch einen Quantenkanal. Ein Quantenkanal besteht aus einem quantenmechanischen System, welches vom Sender manipuliert und vom Empfänger ausgelesen werden kann. Dabei repräsentiert der individuelle Zustand des Kanals die Nachricht. Die zwei Themen der Dissertation umfassen 1) die Möglichkeit, eine Nachricht in einem Quantenkanal verlustfrei zu komprimieren und 2) die Möglichkeit eine Nachricht von einer Partei zu einer einer anderen direkt und auf sichere Weise zu übermitteln, d.h. ohne dass es einer dritte Partei möglich ist, die Nachricht abzuhören und dabei unerkannt zu bleiben. Die wesentlichen Ergebnisse der Dissertation sind die folgenden. Ein allgemeiner Formalismus für Quantencodes mit variabler Länge wird ausgearbeitet. Diese Codes sind notwendig um verlustfreie Kompression zu ermöglichen. Wegen der Quantennatur des Kanals sind die codierten Nachrichten allgemein in einer Superposition von verschiedenen Längen. Es zeigt sich, daß es unmöglich ist eine Quantennachricht verlustfrei zu komprimieren, wenn diese dem Sender nicht apriori bekannt ist. Im anderen Falle wird die Möglichkeit verlustfreier Quantenkompression gezeigt und eine untere Schranke für die Kompressionsrate abgeleitet. Des weiteren wird ein expliziter Kompressionsalgorithmus konstruiert, der für beliebig vorgegebene Ensembles aus Quantennachrichten funktioniert. Ein quantenkryptografisches Prokoll - das “Ping-Pong Protokoll” - wird vorgestellt, welches die sichere direkte übertragung von klassischen Nachrichten durch einen Quantenkanal ermöglicht. Die Sicherheit des Protokolls gegen beliebige Abhörangriffe wird bewiesen für den Fall eines idealen Quantenkanals. Im Gegensatz zu anderen quantenkryptografischen Verfahren ist das Ping-Pong Protokoll deterministisch und kann somit sowohl für die Übermittlung eines zufälligen Schlüssels als auch einer komponierten Nachricht verwendet werden. Das Protokoll is perfekt sicher für die Übertragung eines Schlüssels und quasi-sicher für die direkte Übermittlung einer Nachricht. Letzteres bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Abhörangriffs exponenziell mit der Länge der Nachricht abnimmt.
Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.
Verschränkung ist eine der wichtigsten Besonderheiten der Quantentheorie, welche kein klassisches Analogon besitzt. Aufgrund dieser ist es nicht länger angemessen zusammengesetzte Systeme lediglich als eine Kombination von unabhängig voneinander beschreibbaren Subsystemen zu betrachten. Anstatt dessen gibt es Quantenzustände die inseparabel bezüglich der einzelnen Bestandteile des Systems sind. Wohingegen Verschränkung zunächst als eine Art künstlicher Fehler der Theorie angesehen wurde, hat sich deren Existenz mittlerweile durch zahlreiche Experimente bestätigt. Diese Gegebenheit hat weitreichende Konsequenzen. Auf einer fundamentalen Ebene lässt sich hiermit zeigen, daß es keine lokal-realistische Alternative zur Quantentheorie gibt. Zusätzlich stellt Verschränkung eine Ressource für neue Technologien der Informationsverarbeitung dar, wie z.B. Quantenkryptographie, Dense Coding, Quantenteleportation oder der Quantencomputer. Trotz intensiver Forschung in den letzten Jahrzehnten gibt es noch viele offene Fragen bezüglich Verschränkung und deren Manifestationen. Dies gilt insbesondere für Verschränkung in komplexen Vielteilchensystemen. Gegenstand dieser Dissertation ist es Verschränkung und nicht-lokal-realitsche Korrelationen in zusammengesetzten endlich-dimensionalen Quantensystemen (Multipartite Qudits) zu untersuchen und zu verstehen. Um die Analyse solcher Systeme zu erleichtern, werden neue mathematische Hilfsmittel, wie zum Beispiel praktische Parameterisierungen von unitären Gruppen, Dichtematrizen und Unterräumen vorgestellt. Die Struktur von Verschränkung in Vielteilchensystemen wird betrachtet, und eine exakte Charakterisierung von Multilevel-Vielteilchenverschränkung wird eingeführt. Es werden Methoden zur Verschränkungsdetektion angegeben, und deren experimentelle Implementierung diskutiert. Ein weiteres Thema ist die Quantifizierung von Verschränkung. In diesem Zusammenhang wird ein nützliches Maß für Vielteilchenverschränkung vorgestellt. Darüber hinaus wird auch die Klassifizierung von Vielteilchenverschränkung thematisiert, und ein systematischer Ansatz zur Unterscheidung verschiedener Klassen angegeben. Der letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Relationen zwischen Verschränkung und anderen fundamentalen Aspekten der Quantentheorie. Insbesondere wird eine Verbindung zwischen dem Komplementaritätsprinzip und dem Separabilitätsproblem hergestellt. Besondere Aufmerksamkeit gilt auch dem Zusammenhang zwischen Verschränkung und nicht-lokal-realitischen Korrelationen. Hier wird eine geometrische Struktur, welche diskreten zusammengesetzten Systemen zugrunde liegt, verwendet, um deren Verschiedenartigkeit veranschaulichen zu können.
Die vorliegende Diplomarbeit beschaftigt sich uberwiegend mit Quanten-Systemen, die zwei (auch qubit genannt) oder im allgemeinsten Fall d Freiheitsgrade (auch qudit genannt) aufweisen. Insbesondere werden die Eigenschaften zusammengesetzter Quanten-Systeme bezuglich Separabilitat beziehungsweise Verschrankung auf geometrische Weise dargestellt. Beruhend auf ahnlichen, bereits bekannten
Uberlegungen fur zwei Qubit oder zwei Qudit Systeme, werden mogliche Verallgemeinerungen dieser Ergebnisse fur Vielteilchensysteme prasentiert. Des Weiteren wird das Verhalten dieser Vielteilchensysteme bezuglich der gangigsten Separabilit
atskriterien, wie z.B. des Peres-Horodecki Kriteriums, des Realignment Kriteriums, der Destillation von Verschrankung und Verschrankungsmasen, sowohl numerisch als auch analytisch betrachtet.
Es wird im Einzelnen gezeigt wie, in Anlehnung an den zwei Qubit Simplex, ein n-Teilchen Simplex bestehend aus Qubit Zustanden konstruiert werden kann und warum alle Zustande in diesem Simplex 'bound-entangled' sind. Dieses Ergebnis
wurde bereits in Physical Review A 78, 042327 (2008) publiziert.
Auserdem werden zwei verschiedene Konstruktionen eines n-Teilchen Wk-Simplex
vorgestellt, die beide fur den n = 2 Fall mit dem bekannten 'Magic Tetrahedron' ubereinstimmen. Fur den speziellen Fall des drei Teilchen Wk-Simplex (W-Zustand Simplex) werden bestimmte Symmetrien der jeweiligen Quanten Systeme bezuglich
der oben erwahnten Separabilitatskriterien aufgezeigt und dementsprechend verschiedene Subklassen von Zustande eingefuhrt. Zusatzlich zu diesen Symmetrien
konnen durch diese geometrische Veranschaulichung der Zustande, d.h. durch verschiedene Schnitte dieser Simplices, die verschiedenen Kriterien prazise und leicht auf optischem Wege verglichen werden. Aus diesem Grund werden die in
dieser Arbeit beschriebenen Ergebnisse dazu beitragen sowohl zusammengesetzte Quanten-Systeme als auch das damit verbundene faszinierende Phanomen der Verschr
ankung, welches die Grundlage fur zukunftige Technologien, wie etwa Quantenkryptography, Quantenkommunikation oder moglicherweise Quantencomputer, bilden wird, besser zu verstehen.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.