AvertissementL'auteur de ce mémoire ou de cette thèse a autorisé l'Université du Québec à Trois-Rivières à diffuser, à des fins non lucratives, une copie de son mémoire ou de sa thèse.Cette diffusion n'entraîne pas une renonciation de la part de l'auteur à ses droits de propriété intellectuelle, incluant le droit d'auteur, sur ce mémoire ou cette thèse.Notamment, la reproduction ou la publication de la totalité ou d'une partie importante de ce mémoire ou de cette thèse requiert son autorisation. RésuméDans ce mémoire, sont rassemblés une bonne partie de mes travaux de maîtrise portant sur la mécanique quantique bicomplexe.Les nombres bicomplexes sont la généralisation multicomplexe d'ordre deux des nombres complexes.Lorsqu'ils sont munis de l'addition et de la multiplication standard, ils forment une structure algébrique d'anneau commutatif avec unité et sont une des multiples généralisations des nombres réels connues.L'idée d 'utiliser une algèbre de dimension supérieure à celle des nombres complexes pour élaborer le formalisme mathématique de la mécanique quantique remonte à près de quatre-vingts ans.Toutefois, l'utilisation des nombres bicomplexes à cette fin est une idée qui a moins de dix ans.La résolution du problème de l'oscillateur harmonique quantique dans un espace de Hilbert bicomplexe a constitué le premier accomplissement majeur de ce projet ambitieux.Ce mémoire, de type par article, s'inscrit dans la continuité de ces travaux de généralisation.Il présente, par une approche axiomatique, la solution différentielle complète du problème quantique bicomplexe du potentiel de Coulomb et la moitié de sa solution algébrique.
AvertissementL'auteur de ce mémoire ou de cette thèse a autorisé l'Université du Québec à Trois-Rivières à diffuser, à des fins non lucratives, une copie de son mémoire ou de sa thèse.Cette diffusion n'entraîne pas une renonciation de la part de l'auteur à ses droits de propriété intellectuelle, incluant le droit d'auteur, sur ce mémoire ou cette thèse.Notamment, la reproduction ou la publication de la totalité ou d'une partie importante de ce mémoire ou de cette thèse requiert son autorisation. RésuméDans ce mémoire, sont rassemblés une bonne partie de mes travaux de maîtrise portant sur la mécanique quantique bicomplexe.Les nombres bicomplexes sont la généralisation multicomplexe d'ordre deux des nombres complexes.Lorsqu'ils sont munis de l'addition et de la multiplication standard, ils forment une structure algébrique d'anneau commutatif avec unité et sont une des multiples généralisations des nombres réels connues.L'idée d 'utiliser une algèbre de dimension supérieure à celle des nombres complexes pour élaborer le formalisme mathématique de la mécanique quantique remonte à près de quatre-vingts ans.Toutefois, l'utilisation des nombres bicomplexes à cette fin est une idée qui a moins de dix ans.La résolution du problème de l'oscillateur harmonique quantique dans un espace de Hilbert bicomplexe a constitué le premier accomplissement majeur de ce projet ambitieux.Ce mémoire, de type par article, s'inscrit dans la continuité de ces travaux de généralisation.Il présente, par une approche axiomatique, la solution différentielle complète du problème quantique bicomplexe du potentiel de Coulomb et la moitié de sa solution algébrique.
Ouvrage publié grâce au mécénat du Centre National de la Recherche Scientifique, de Paris-Sciences-et-Lettres et du Collège de France. Cet ouvrage, issu de nombreuses années d’enseignements universitaires à divers niveaux, a été conçu afin de faciliter le premier contact avec la physique quantique et d’aider ensuite le lecteur à progresser continûment dans la compréhension de cette physique. Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, sont devenus des classiques dans le monde entier, traduits dans de multiples langues. Ils se placent toutefois à un niveau intermédiaire et ont été complétés par un troisième tome d’un niveau plus avancé. L’ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n’est passée sous silence et où chaque aspect du problème est discuté (en partant souvent d’un rappel classique). Cette volonté d’aller au fond des choses se concrétise dans la structure même de l’ouvrage, faite de deux textes distincts mais imbriqués : les « chapitres » et les « compléments ». Les chapitres présentent les idées générales et les notions de base. Chacun d’entre eux est suivi de plusieurs compléments, en nombre variable, qui illustrent les méthodes et concepts qui viennent d’être introduits ; les compléments sont des éléments indépendants, dont le but est de proposer un large éventail d’applications et prolongements intéressants. Pour faciliter l’orientation du lecteur et lui permettre d’organiser ses lectures successives, un guide de lecture des compléments est proposé à la fin de chaque chapitre. Le tome I fournit une introduction générale, suivie d’un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique. L’expérience d’enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace. Les postulats sont ensuite clairement énoncés à partir du troisième chapitre avec de nombreuses applications en compléments. Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple le spin et les systèmes à deux niveaux, ou encore l’oscillateur harmonique qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des molécules, phonons, etc.) dont bon nombre font l’objet d’un complément spécifique.
Ouvrage publié grâce au mécénat du Centre National de la Recherche Scientifique, de Paris-Sciences-et-Lettres et du Collège de France. Cet ouvrage, issu de nombreuses années d’enseignements universitaires à divers niveaux, a été conçu afin de faciliter le premier contact avec la physique quantique et d’aider ensuite le lecteur à progresser continûment dans la compréhension de cette physique. Les deux premiers tomes, publiés il y a plus de 40 ans, sont devenus des classiques dans le monde entier, traduits dans de multiples langues. Ils se placent toutefois à un niveau intermédiaire et ont été complétés par un troisième tome d’un niveau plus avancé. L’ensemble est systématiquement fondé sur une approche progressive des problèmes, où aucune difficulté n’est passée sous silence et où chaque aspect du problème est discuté (en partant souvent d’un rappel classique). Cette volonté d’aller au fond des choses se concrétise dans la structure même de l’ouvrage, faite de deux textes distincts mais imbriqués : les « chapitres » et les « compléments ». Les chapitres présentent les idées générales et les notions de base. Chacun d’entre eux est suivi de plusieurs compléments, en nombre variable, qui illustrent les méthodes et concepts qui viennent d’être introduits ; les compléments sont des éléments indépendants, dont le but est de proposer un large éventail d’applications et prolongements intéressants. Pour faciliter l’orientation du lecteur et lui permettre d’organiser ses lectures successives, un guide de lecture des compléments est proposé à la fin de chaque chapitre. Le tome I fournit une introduction générale, suivie d’un chapitre détaillé qui décrit les outils mathématiques de base de la mécanique quantique. L’expérience d’enseignement des auteurs a montré que cette présentation est à terme la plus efficace. Les postulats sont ensuite clairement énoncés à partir du troisième chapitre avec de nombreuses applications en compléments. Ensuite sont décrites quelques grandes applications de la mécanique quantique, par exemple le spin et les systèmes à deux niveaux, ou encore l’oscillateur harmonique qui donne lieu à de très nombreuses applications (vibration des molécules, phonons, etc.) dont bon nombre font l’objet d’un complément spécifique.
La recherche en informatique quantique a pris de l’ampleur dans les deux dernières décennies, notamment grâce aux financements massifs des gouvernements et de l’industrie dans les technologies quantiques. L’ordinateur quantique promet de résoudre des problèmes qui jusqu’à présent restaient insurmontables à cause du temps déraisonnable qu’il faudrait pour les résoudre sur les ordinateurs classiques les plus puissants. L’idée de l’ordinateur quantique consiste à utiliser des propriétés quantiques de la matière, telles que l’intrication et la superposition quantique des états, pour effectuer des calculs d’une nouvelle manière. L’informatique quantique requiert un nouveau type d’ordinateur où les bits d’information classique, généralement représentés par la présence ou non de courant à l’entrée d’un transistor, sont remplacés par des bits quantiques aussi appelés qubits, et qui sont représentés par l’état d’un système quantique. De plus, il est nécessaire de développer de nouveaux algorithmes capables d’être implémentés sur un ordinateur quantique et capables de tirer parti de l’avantage quantique. Cette thèse porte sur ces deux composantes complémentaires : la construction de portes logiques, un bloc fondamental de tout ordinateur, et la création de meilleurs algorithmes pour résoudre des problèmes pertinents sur ces machines. Parmi les plateformes les plus avancées pour l’ordinateur quantique, on trouve les circuits supraconducteurs, qui sont la plateforme sur laquelle ont misé Google, IBM, Alice&Bob, Nord Quantique et bien d’autres compagnies. Malgré les avancées des dernières décennies, de nombreux défis restent à être relevés pour que les machines existantes soient en mesure de résoudre des problèmes pertinents et surpassent les ordinateurs classiques. L’un des défis auquel cette thèse s’attaque est la réalisation de portes logiques à deux qubits rapides et à haute fidélité. La rapidité est cruciale pour pouvoir réaliser le plus d’opérations possible avant que les qubits ne perdent leur cohérence quantique, et une haute fidélité est requise pour minimiser les erreurs de calcul et permettre d’implémenter de la correction d’erreurs quantiques. De plus, certains qubits supraconducteurs sont connus pour être affectés par une interaction indésirable, l’interaction ZZ qui, même si relativement faible, affecte la fidélité des portes logiques quantiques, empêchant d’atteindre des fidélités supérieures à 99.9% nécessaires à la correction d’erreurs. En parallèle avec l’amélioration des composantes de l’ordinateur quantique, il est important de développer des applications pour ce nouveau type de machine. Parmi les approches étudiées, les algorithmes quantiques variationnels (VQA) sont ceux qui sont les plus susceptibles d’être déployés sur les ordinateurs quantiques de petites tailles existants. Ce sont des algorithmes hybrides qui nécessitent à la fois de la puissance de calcul classique et quantique. Ces algorithmes semblent prometteurs pour résoudre de nombreux problèmes concrets d’intérêt industriel, comme obtenir les propriétés de molécules ou trouver les solutions de problèmes d’optimisation combinatoire. En effet, ces problèmes peuvent être formulés sous forme d’un Hamiltonien et résolus en déterminant son état fondamental. Dans ce but, les VQAs utilisent un circuit quantique paramétré appelé ansatz, dont les paramètres sont optimisés pour s’approcher de l’état fondamental. Un premier défi consiste à trouver un ansatz qui permette, pour un problème donné, de converger le plus efficacement possible vers la solution. Un deuxième défi est de trouver un circuit fait de portes logiques facilement implémentables sur les plateformes physiques actuelles. Les travaux effectués dans cette thèse apportent des contributions à ces deux défis. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le dispositif que nous avons conçu et qui permet de réaliser des portes d’intrication paramétrique entre deux qubits supraconducteurs. Cette approche a permis à nos collaborateurs du groupe d’Andrew Houck de l’Université de Princeton de réaliser expérimentalement une opération de type √iSWAP en 15 ns avec une fidélité de 98.8%, et ce dans un dispositif où l’interaction ZZ est supprimée. Dans la seconde partie de la thèse, nous avons développé un ansatz pour les VQAs permettant de résoudre le modèle de Fermi Hubbard. Ce nouvel ansatz utilise les avantages de deux ansätze préexistants, et permet d’obtenir l’énergie et l’état fondamental du FHM avec une précision de plusieurs ordres de grandeur supérieure aux ansätze standards, et ce en réduisant significativement le nombre de portes d’intrication CNOT qui sont généralement imparfaites et longues à implémenter.
On étudie les champ statiques, d'une part, en vue de préciser les limites spatiales oú une loi de champ due à une source peut être vérifiée au moyen de mesures et, d'autre part, en vue de fixer les conditions où la forme classique des lois ponctuelles se trouve justifiée. Dans le premier de ces problèmes, la méthode de mesure utilisée est celle de la diffusion de corps d'épreuve convenables dans les champs créés par des centres, les dimensions des premiers commes celles des derniers étant négligées. Une comparaison des conclusions relatives aux régions d'espace entourant une source - où règne ou ne règne pas, un champ hypothétique de forme précise — des points de vue classique et quantique, et pour le même processus de mesure, conduit à fixer la limite de validité comparative de la théorie classique. Cette limite serait déterminée par le rapport d/λ, où d est la distance d'approche minimum classique du corps d'épreuve utilisé à la source du champ et λ la longueur d'onde de de Broglie associée au corps d'épreuve. Tant que ce rapport est supérieur à l'unité, les conclusions indiquées coïncident dans les théories classique et quantique; par contre, lorsque ce rapport est inférieur à l'unité on se trouve dans un domaine où seules les conclusions conformes à la Mécanique quantique sont admissibles. La condition d/λ < 1 pouvait être généralisée comme devant être satisfaite nécessairement par toute méthode d'approximation fondée sur la Mécanique quantique en vue de décrire des processus de diffusion dans les champs considérés ici (champs dérivant d'un potentiel et fonctions de la distance). Il se trouve en particulier que dans les champs du type Coulomb le rapport précédent est justement le paramètre de développement en série de la méthode d'approximations successives de Born. On montre enfin, en étudiant localement un champ statique à l'aide de mesures directes de composantes de champ, que les lois classiques ponctuelles peuvent être justifiées dans le cas des champs uniformes et dans les régions des champs non uniformes où ceux ci varient relativement lentement le long de distances de l'ordre des dimensions linéaires des corps d'épreuve de volume fini utilisés dans la mesure.
Cette these se compose de trois parties. Dans une premiere partie on etudie un probleme spectral associe a l'equation de Schrodinger independante du temps en trois dimensions et a plusieurs particules : la caracterisation des etats excites d'une molecule en termes de recherche de points critiques sur une variete. L'approximation utilisee est l'approximation MCSCF. Le probleme spectral est transforme en un probleme de geodesiques et d'etude d'indice de Morse de points critiques. On met en œuvre un algorithme pour le traitement numerique de ce probleme et on met en evidence l'amelioration des resultats obtenus par rapport aux algorithmes existants. Dans une deuxieme partie, on etudie l'equation de Schrodinger dependante du temps a une particule en une dimension. Des potentiels non triviaux en espace et ou en temps sont appliques. On resout alors exactement le probleme des conditions aux limites transparentes dans le cadre continu ou discret. On donne des formules fermees originales sous forme d'algorithme possedant un nombre d'iterations fini ou bien via des representations integrales sur des fonctions speciales. Le cas des potentiels harmonique, electrostatique dependant du temps, semi-periodique sont ainsi resolus. On etudie de maniere formelle sans donner de formule fermee la forme prise par l'operateur de Dirichlet-to-Neuman dans le cas d'un potentiel encore plus complique. Cette partie est completee par des apports divers d'analyse sur les fonctions speciales et certaines equations integrales. Dans une troisieme partie on etudie des proprietes et des algorithmes de resolutions numeriques d'une equation des film fin a frontiere libre posee sur une variete avec bords.
En exploitant à la fois les ressources classiques et quantiques, les algorithmes variationnels quantiques peuvent exécuter des tâches computationnelles complexes sur des ordinateurs quantiques bruités, sans nécessiter de correction d'erreurs. Ces algorithmes visent notamment à résoudre des problèmes d'optimisation combinatoire, se plaçant ainsi en concurrence avec des algorithmes classiques perfectionnés au fil des décennies. Une approche complémentaire consiste à se tourner vers des problèmes intrinsèquement plus complexes: les problèmes de dénombrement. Ces derniers, qui consistent à compter le nombre de solutions aux problèmes de décision, pourraient se révéler plus accessibles aux algorithmes variationnels quantiques qu'aux algorithmes classiques. Dans le cadre de ce mémoire, un algorithme surnommé VQCount est introduit pour la résolution de problèmes de dénombrement. VQCount s'appuie sur l'équivalence entre l'échantillonnage aléatoire et le comptage approximatif pour estimer le nombre de solutions à un facteur multiplicatif près, en exploitant l'ansatz quantique à opérateurs alternants comme générateur de solutions. Cette approche nécessite l'échantillonnage d'un nombre polynomial de solutions selon la taille du problème, même lorsque ce dernier possède un nombre exponentiel de solutions, ce qui constitue une amélioration exponentielle par rapport à des travaux précédents. À l'aide de simulations de réseaux de tenseurs, la performance de VQCount avec des circuits de faible profondeur est étudiée sur des instances synthétiques de deux problèmes #P-difficile, positif #1-in-3SAT et positif #NAE3SAT, en employant comme générateurs de solutions l'algorithme quantique d'optimisation approximative ainsi que l'ansatz quantique à opérateurs alternants avec forçage de Grover. Un compromis entre la probabilité de succès et l'uniformité de l'échantillonnage du générateur est observé et exploité pour atteindre un gain en efficacité exponentiel par rapport à l'échantillonnage par rejet naïf. Ces résultats soulignent le potentiel et les limites des algorithmes variationnels quantiques pour le comptage approximatif.