Este trabalho surgiu com o intuito de compreender algumas das ferramentas teoricas que compoem o algoritmo de Shor, em especial a transformada quântica de Fourier. Nele temos uma introducao a teoria das representacoes e caracteres de grupos, que tem como base a teoria de grupos e algebra linear.
Algoritmos Quânticos: Da lógica clássica à computação quântica apresenta uma introdução progressiva, técnica e computacional aos fundamentos e aos principais algoritmos da computação quântica. A obra parte dos conceitos clássicos de algoritmo, complexidade computacional, teoria dos números e álgebra linear para construir, passo a passo, a compreensão de qubits, superposição, medição, interferência, portas quânticas, circuitos e emaranhamento. Ao longo do livro são desenvolvidos algoritmos fundamentais como Deutsch, Deutsch–Jozsa, Simon e Grover, avançando para a Transformada Quântica de Fourier (QFT), estimação quântica de fase e o algoritmo de Shor. A obra também discute amplificação de amplitude, criptografia pós-quântica, computação híbrida quântico-clássica, VQE, QAOA, barren plateaus, ruído, correção e mitigação de erros, além dos diferentes significados de vantagem quântica e dos limites atuais da tecnologia. Uma parte substancial do livro é dedicada à implementação prática com Python e Qiskit, incluindo preparação e medição de estados, estados de Bell, circuitos de Grover, QFT, estimação de fase, demonstrações de Shor, simulação local, transpilação e execução em processadores quânticos (QPUs). O texto procura distinguir rigorosamente vantagem algorítmica teórica, vantagem experimental e utilidade prática, evitando interpretações excessivamente simplificadas da computação quântica. O objetivo é oferecer uma ponte entre Ciência da Computação clássica e computação quântica para estudantes, desenvolvedores, pesquisadores e leitores interessados em compreender não apenas como os algoritmos quânticos funcionam, mas também quando, por que e sob quais condições eles podem oferecer vantagens computacionais. Palavras-chave Computação quântica; Algoritmos quânticos; Quantum computing; Quantum algorithms; Qubits; Circuitos quânticos; Quantum circuits; Qiskit; Algoritmo de Grover; Grover's algorithm; Algoritmo de Shor; Shor's algorithm; Transformada Quântica de Fourier; Quantum Fourier Transform; Estimação quântica de fase; Quantum Phase Estimation; VQE; QAOA; Computação híbrida quântico-clássica; Criptografia pós-quântica; Complexidade computacional; Emaranhamento quântico; Amplificação de amplitude; Programação quântica.
Computação quântica é uma área de grande desenvolvimento hoje em dia e isso traz uma necessidade para desenvolver hardware e software. Uma vez que o hardware disponível é muito pouco e o software precisa de ser testado, existe uma necessidade de uma boa plataforma para testar as soluções de software. Simular um computador quântico num computador clássico não é ideal, contudo é uma resposta viável a esta necessidade, para um pequeno número de qubits. Além disso, os computadores quânticos necessitam dos computadores clássicos de forma a criar um sistema real prático, isto apresenta-se como uma excelente oportunidade para testar técnicas de programação clássica para melhorar a programação quântica. Esta tese propõe o uso de programação clássica para melhorar a implementação de um algoritmo de adição modular usando transformadas de Fourier quânticas. Os principais objectivos deste trabalho são: simular um circuito quântico; testar um algoritmo quântico e compará-lo com o seu equivalente clássico; implementar o algoritmo de adição modular, usando as capacidades de aceleração de computação das transformadas de Fourier quânticas e optimizá-lo; Testar e implementar códigos quânticos de correcção de erros; fazer um teste num computador quântico real.De forma a testar a linguagem e comparar um algoritmo quântico com um clássico, fez-se um teste ao algoritmo de Shor que está disponível de raiz na plataforma liquid. Apesar do algoritmo de Shor ter, teoricamente, uma dependência de tipo polinomial com a dimensão do problema, os testes realizados mostraram que o tempo de computação tem um comportamento exponencial. Simular um algoritmo quântico num computador clássico requer tempo de computação que cresce de forma exponencial, pois é necessário armazenar e processar todos os estados do sistema, que é um espaço de Hilbert de dimensão 2^n.O algoritmo de adição modular usando transformadas de Fourier quânticas foi implementado na plataforma liquid. Seguidamente fizeram-se melhorias e optimizações. O número de operações teórico é O(n^2). Contudo, depois de fazer melhorias ao circuito, removendo gates desnecessárias para casos específicos, o número de operações passa a ter um valor mínimo de Omega(n). Com este tipo de alterações o sistema pode apresentar melhorias no que respeito ao tempo de simulação até um factor de ordem 10. Isto mostra que programar um algoritmo quântico tendo em conta casos específicos pode melhorar imenso o desempenho da simulação.Os códigos de correção de erros quânticos foram implementados num circuito simples, com as ferramentas disponíveis na plataforma liquid, e obteve-se um sistema que consegue lidar com erros com probabilidade inferior ou igual a 2%, com uma taxa de sucesso na sua correção de 95%. Contudo são necessários circuitos muito grandes, pouco exequíveis.A plataforma disponibilizada pela IBM para fazer testes num computador quântico real, foi utilizada para testar o algoritmo de adição modular e adição normal (com carry bit). Uma vez que esta plataforma tem um número limitado de gates, reforça a ideia de que se deve otimizar os algoritmos tendo em conta casos particulares. Os resultados destes testes mostram também que é importante utilizar correcção de erros quânticos, mas para que isso seja viável é necessário que haja mais qubits disponíveis ou outro tipo de códigos.
0 algoritmo de Shor e a evolução da computação quântica trouxeram grandes ameaças à segurança dos criptossistemas atuais. Pela necessidade de se encontrar novas alternativas, surgiu a criptografia pós-quântica. Esta dissertação pode ser dividida em três partes principais. Na primeira apresentamos alguns elementos de teoria dos números e descrevemos um criptossistema clássico, o RSA, cuja segurança pode ser facilmente quebrada recorrendo a ataques quânticos. Na segunda parte descrevemos a implementação do algoritmo de Shor, que é um ataque a esse e a todos os criptossistemas cuja segurança reside no problema da fatorização ou no problema do logaritmo discreto. Na implementação deste algoritmo minimizámos o número de qubits necessários. Para isso, utilizámos transformadas de Fourier quânticas para realizar operações como a adição, a multiplicação e a exponenciação modular. Assim, segundo a nossa abordagem, precisámos de apenas Li + 2L2 + 3 qubits, para implementar o algoritmo de Shor, ou seja, para encontrar o período da função /(x) = ax mod N, onde Li corresponde ao número de qubits necessários para representar x tal que N2 < 2L1 < 2N2 e L2 corresponde ao número de qubits necessários para representar N. Por fim, na última parte desta dissertação, apresentaremos elementos da criptografia pós-quântica, em particular, um protocolo proposto por nós. Este é uma nova variante do criptossistema de McEliece, no qual se propõe o uso de códigos convolucionais em vez do uso de códigos de bloco. Assim, a parte codificadora da nossa chave pública, que denotaremos por G'(D), será ela própria convolucional. Ao estudarmos várias possibilidades de ataques para este criptossistema, verificámos que, em comparação com as restantes variantes, para uma chave pública menor conseguimos ter um fator de trabalho muito maior, o que se traduz numa maior segurança
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.
Um estudo passo a passo dos algoritmos de Grover e Shor A step-by-step study of Grover and Shor algorithmsResumo Os algoritmos de Grover e de Shor são duas das principais descobertas da computação quântica no início das pesquisas nessa área.O primeiro é um algoritmo de busca com um ganho de velocidade significativo em relação aos algoritmos clássicos e com grande aplicação na resolução de diversos outros problemas.O segundo é capaz de resolver o problema da fatoração de um número C em tempo polinomial, o que foi responsável por um grande impulso na pesquisa em computação e criptografia quântica.Neste trabalho de Iniciação Científica apresentamos os algoritmos quânticos de Grover e Shor, amplamente utilizados na computação quântica, com uma proposta original focada nos estados quânticos obtidos após cada passo na evolução do circuito.Dessa forma, exercita-se a aplicação das portas quânticas e a percepção das propriedades quânticas, bem como o funcionamento desses dois algoritmos.No circuito de Grover destacamos a fundamental propriedade de emaranhamento quântico que permite executar tarefas de processamento de informação.
Introdução: As abordagens Transformada Rápida de Fourier e Transformada de Fourier Quântica se tratam de transformadas matemáticas fundamentais, elas são amplamente reconhecidas pelo seu impacto no desenvolvimento da ciência e da tecnologia, porém elas possuem várias diferenças. Objetivo: O objetivo deste estudo é apresentar de forma sucinta os algoritmos de Transformada Rápida de Fourier e Transformada de Fourier Quântica para destacar suas funções principais e comparar a sua eficiência, aplicabilidade, desempenho e complexidade em relação ao modelo clássico. Metodologia: metodologia baseou-se em uma pesquisa bibliográfica de caráter descritivo e exploratório, fundamentada em livros, artigos e materiais acadêmicos que abordam a Transformada de Fourier Quântica e a Transformada Rápida de Fourier. O processo envolveu a coleta e sistematização de informações relevantes, seguido de uma análise crítica dos dados obtidos e de uma interpretação comparativa entre as duas abordagens, considerando suas complexidades, aplicações e limitações. Resultado: Os resultados indicaram que a Transformada Rápida de Fourier revolucionou a análise de sinais ao reduzir significativamente o custo computacional, reduzindo o número de operações de n² para n(log n), mas a Transformada de Fourier Quântica superou essas conquistas ao executar a mesma transformação com apenas O(n^2 ) portas, processando simultaneamente todas as amplitudes de um estado quântico. Essa característica permitiu extrair informações como padrões e períodos de forma eficiente, algo inviável em modelos clássicos. Conclusão: Concluiu-se, portanto, que a Transformada de Fourier Quântica representou não apenas uma evolução matemática da Transformada Rápida de Fourier, mas uma mudança de paradigma. Sua superioridade projetou a computação quântica como um campo com potencial disruptivo, capaz de enfrentar desafios considerados intratáveis pelo modelo clássico..