El teorema de Bell sin desigualdades: Estados GHZ

Eduardo R. Palenque, Oscar Daniel López Bernal

Moreno Martín, María del Pilar

Este trabajo trata de un tipo particular de estados puros de n qubits, los estados grafo. En el Capitulo 1 se presentan tres definiciones de estados grafo (en base a su representacion geometrica, al modelo de interaccion y en terminos del formalismo estabilizador) que posteriormente relacionaremos entre si. A partir de estas definiciones introduciremos el formalismo estabilizador y obtendremos el estabilizador correspondiente a un estado grafo. Esta es una representacion compacta de los estados grafo que nos permitira describir comodamente su evolucion bajo la accion de las medidas de Pauli y los operadores del grupo de Clifford. Ademas, explicaremos como preparar estados grafo a partir de puertas controlled-Z, y mostraremos algunas referencias donde se exponen detalladamente la preparacion experimental de los estados grafo empleando varios metodos y recursos fisicos. Los estados grafo son fundamentales en muchas aplicaciones de la Informacion Cuantica. En los Capitulos 2 y 3 se explica su importancia para la correccion cuantica de errores y la computacion cuantica basada en medidas, respectivamente. Los resultados novedosos se refieren a la clasificacion de los estados grafo de hasta n = 8 qubits (Capitulo 5), a la identificacion de las clases de equivalencia a las que pertenecen los estados grafo de hasta n = 8 qubits (Capitulo 6), y a la utilidad de los estados grafo para demostraciones del teorema de Bell de tipo Greenberger-Horne Zeilinger (tambien llamadas demostraciones �allversus-nothing� o, abreviadamente, AVN). Este tipo de demostraciones se abordan atendiendo a su complejidad, de forma que el caso bipartito se trata en el Capitulo 8 y el caso m-partito en el Capitulo 9. El Capitulo 4 es una introduccion al problema de la clasificacion de estados entrelazados. En el se anticipan algunos conocimientos basicos para definir y estudiar el entrelazamiento en los estados cuanticos, se introduce brevemente la clasificacion de los estados puros entrelazados de hasta n = 4 qubits, y se explica cuales son las operaciones locales que permiten obtener las clases de equivalencia de los estados grafo. El Capitulo 7 es una introduccion de los Capitulos 8 y 9, en el hemos incluido: el teorema de Bell; dos tipos de desigualdades de Bell, EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) y CHSH (Clauser-Horne-Shimony-Holt), atendiendo a si se desenvuelven o no en el escenario EPR original, asi como las demostraciones AVN; tambien hemos discutido cuales son las desigualdades de Bell que precisan de una menor eficiencia para su comprobacion experimental; y la importancia de emplear los estados hiperentrelazados para la comprobacion experimental de las demostraciones del teorema de Bell. En el ultimo Capitulo mostramos las conclusiones de los Capitulos 5, 6, 8 y 9 que son los que contienen los resultados originales de este trabajo.

Victor José Mahecha Arango

Eduardo Nava Hernández

En esta versión se corrige un error de factor en la norma del conmutador. Forma correcta: ‖[T_d, P_d]‖_spec = 2/(d−1) (canónico) Versiones previas escribieron 1/(d−1), por una cancelación trigonométrica mal simplificada (4·cos(π/(d+1)) / (2·cos(π/(d+1))·(d−1)) = 2/(d−1), no 1/(d−1)). Esto toma importancia en la calibración numérica de la dimensión crítica d = 4 y en toda la tabla de C_Nava(d). La irracionalidad de los productos trigonométricos (Teorema de Niven) NO se ve afectada: se mantiene como obstrucción aritmética independiente del factor 1 o 2. "La Desigualdad Universal de Nava–Robertson permanece como piso mínimo de incertidumbre para todo par de operadores hermitianos conjugados en espacios de Hilbert finitos a partir de d ≥ 4: irrefutable, irreducible." Para el framework canónico (Libro I y Libro II del Piramidón) el valor estricto es 2/(d−1). Pedimos disculpas por el error aritmético que se propagó a lo largo de varias versiones previas; el contenido cualitativo del teorema no se ve afectado, sólo la calibración numérica de las tablas. TEOREMA — DESIGUALDAD UNIVERSAL DE NAVA–ROBERTSON (forma cualitativa universal) Para todo par hermitiano (A, B) sobre un espacio de Hilbert H_d con d ≥ 4 tal que [A, B] ≠ 0, la desigualdad de Robertson NO satura con igualdad: ΔA · ΔB > (1/2) · |⟨[A,B]⟩| (estrictamente mayor) en todo estado normalizado |ψ⟩ ∈ H_d. Equivalentemente: la saturación exacta de Robertson es algebraicamente imposible para d ≥ 4. CONCLUSIÓN AXIOMÁTICA La Desigualdad Universal de Nava–Robertson es: 1. Axiomáticamente derivada (Robertson 1929 + Niven 1956 + Fiedler 1966). 2. Matemáticamente probada por reducción al absurdo (sin escape lógico). 3. Numéricamente verificable con precisión arbitraria. 4. Universalmente aplicable a todo sistema cuántico finito con operadores conjugados. 5. Permanentemente verdadera para d ≥ 4: δ_geom(d) > 0 estricto. El teorema no admite excepción algebraica en d ≥ 4. Con la finalidad de fortalecer el teorema, esta versión añade los caminos demostrativos adicionales (Camino A directo y Camino B vía Niven–Lehmer) que cierran la prueba por dos rutas independientes.

George Jaroszkiewicz

Montaña Martínez, Luís Alejandro

El teorema de Bell es catalogado por algunos como el mas profundo descubrimiento de la ciencia. La idea que comunmente se presenta es que este obliga a escoger entre la tesis filosofica del realismo o la localidad, llegandose a afirmar que el realismo ha sido refutado por los fenomenos mismos. A la discusion acerca de la interpretacion del teorema de Bell, competen varias cuestiones de interes filosofico, particularmente cuestiones que se refieren a la ontologia cuantica, las caracteristicas del espacio-tiempo o, la naturaleza del realismo, por nombrar algunas. Este trabajo pretende analizar las implicaciones ontologicas y epistemologicas de las desigualdades de Bell y su relacion con la no localidad. Para tal efecto, se propone una orientacion filosofica inspirada en las ideas desarrolladas por Mario Bunge, dada su actitud de hacer filosofia a partir de los conocimientos cientificos. Con este objetivo, el trabajo parte desde los antecedentes historicos para luego desarrollar las ideas ontologicas y epistemologicas del realismo cientifico propuesto por Mario Bunge. Posteriormente se analizan las implicaciones fisicas de las desigualdades de Bell y su relacion con la no localidad, para terminar con la presentacion de una axiomatica de la mecanica cuantica con el fin de organizar las implicaciones ontologicas y epistemologicas de las desigualdades de Bell.